Suites numériques

Une suite numérique est une liste infinie de nombres, rangés dans un ordre précis : un premier terme, un deuxième, un troisième… Les suites servent à décrire tout ce qui évolue par étapes : un capital placé qui grossit chaque année, une population comptée chaque mois, le nombre d'allumettes d'une figure qu'on agrandit d'un cran à chaque fois.

Ce chapitre installe le vocabulaire et les deux familles de suites les plus utiles, les suites arithmétiques et les suites géométriques. Elles reviendront toute l'année, notamment avec la fonction exponentielle.

1. Qu'est-ce qu'une suite ?

1.1 Définition et notations

Une suite $u$ est une fonction définie sur $\mathbb{N}$ (ou à partir d'un certain entier) : à chaque entier naturel $n$, elle associe un nombre réel noté $u(n)$ ou, le plus souvent, $u_n$.

• $u_n$ est le terme de rang $n$ (ou d'indice $n$).
• $u_0$ est le premier terme (parfois la suite commence à $u_1$).
• La suite elle-même se note $(u_n)$ ou $(u(n))$.

⚠️ Attention à la différence : $(u_n)$ désigne toute la suite (la liste complète), alors que $u_n$ désigne un seul nombre, le terme de rang $n$.

Exemple : la suite des nombres impairs $1, 3, 5, 7, 9, \ldots$ peut se noter $(u_n)$ avec $u_0 = 1$, $u_1 = 3$, $u_2 = 5$… Le terme de rang $4$ est $u_4 = 9$.

1.2 Les modes de génération d'une suite

Il existe plusieurs façons de définir une suite.

a) Par une formule explicite $u_n = f(n)$

Chaque terme se calcule directement à partir de son rang.

Exemple : $u_n = 2n + 3$. Alors $u_0 = 3$, $u_1 = 5$, $u_2 = 7$ et directement $u_{100} = 203$.

b) Par une relation de récurrence $u_{n+1} = f(u_n)$

On donne le premier terme et une règle pour passer d'un terme au suivant.

Exemple : $u_0 = 3$ et, pour tout $n$, $u_{n+1} = 2u_n - 1$.

$u_1 = 2 \times 3 - 1 = 5 \qquad u_2 = 2 \times 5 - 1 = 9 \qquad u_3 = 2 \times 9 - 1 = 17$

Pour connaître $u_{100}$, il faut calculer tous les termes précédents (ou utiliser un algorithme, voir la partie 6).

c) Par un algorithme

Un programme calcule les termes un à un. C'est le mode naturel pour une relation de récurrence.

d) Par un motif géométrique ou un dénombrement

$u_n$ compte des objets dans une figure qui dépend de $n$.

Exemple : on construit une frise de carrés avec des allumettes. Un carré demande $4$ allumettes, chaque carré supplémentaire accolé en demande $3$ de plus. Le nombre d'allumettes pour $n$ carrés est $a_n = 4 + 3(n - 1) = 3n + 1$.

🎯 En résumé : une formule explicite donne n'importe quel terme d'un coup ; une relation de récurrence oblige à avancer pas à pas. Savoir passer de l'une à l'autre est un objectif du chapitre.

1.3 Représentation graphique

Une suite se représente par un nuage de points de coordonnées $(n\,;\,u_n)$. On ne relie pas les points : la suite n'est définie que pour des entiers.

2. Sens de variation d'une suite

2.1 Définitions

Soit $(u_n)$ une suite.

• $(u_n)$ est croissante si, pour tout $n$ : $u_{n+1} \geqslant u_n$.
• $(u_n)$ est décroissante si, pour tout $n$ : $u_{n+1} \leqslant u_n$.
• $(u_n)$ est constante si, pour tout $n$ : $u_{n+1} = u_n$.

Avec des inégalités strictes, on parle de suite strictement croissante ou décroissante. Une suite croissante ou décroissante est dite monotone.

Une suite peut aussi n'être ni croissante ni décroissante, comme $u_n = (-1)^n$ qui vaut alternativement $1$ et $-1$.

2.2 Trois méthodes pour étudier les variations

Méthode 1 — Étudier le signe de $u_{n+1} - u_n$

C'est la méthode générale.

• Si $u_{n+1} - u_n \geqslant 0$ pour tout $n$, la suite est croissante.
• Si $u_{n+1} - u_n \leqslant 0$ pour tout $n$, la suite est décroissante.

Exemple : $u_n = n^2 - 3n$.

$u_{n+1} - u_n = (n+1)^2 - 3(n+1) - (n^2 - 3n) = n^2 + 2n + 1 - 3n - 3 - n^2 + 3n = 2n - 2$

$2n - 2 \geqslant 0$ dès que $n \geqslant 1$ : la suite est croissante à partir du rang $1$. Vérification : $u_0 = 0$, $u_1 = -2$, $u_2 = -2$, $u_3 = 0$, $u_4 = 4$.

Méthode 2 — Comparer $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ à $1$ (termes strictement positifs)

Si tous les termes sont strictement positifs : $\dfrac{u_{n+1}}{u_n} \geqslant 1$ pour tout $n$ signifie que la suite est croissante ; $\dfrac{u_{n+1}}{u_n} \leqslant 1$ qu'elle est décroissante. Cette méthode est adaptée aux suites définies avec des puissances.

Méthode 3 — Utiliser la fonction $f$ quand $u_n = f(n)$

Si $f$ est croissante sur $[0\,;\,+\infty[$, alors $(u_n)$ est croissante. Même chose pour décroissante.

Exemple : $u_n = \sqrt{n}$ est croissante car la fonction racine carrée est croissante sur $[0\,;\,+\infty[$.

⚠️ Attention : la méthode 3 ne marche que dans le sens « $f$ monotone donc $(u_n)$ monotone ». Une suite $u_n = f(n)$ peut être monotone alors que $f$ ne l'est pas, par exemple si $f$ oscille entre deux entiers consécutifs.

3. Suites arithmétiques

3.1 Définition

Une suite $(u_n)$ est arithmétique lorsqu'on passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre $r$, appelé la raison :

$\boxed{u_{n+1} = u_n + r}$

Exemple : $u_0 = 5$ et $u_{n+1} = u_n + 3$ : la suite $5, 8, 11, 14, 17, \ldots$ est arithmétique de raison $3$.

Reconnaître une suite arithmétique : on vérifie que la différence $u_{n+1} - u_n$ est constante (ne dépend pas de $n$).

3.2 Terme général

Pour une suite arithmétique de premier terme $u_0$ et de raison $r$ :

$\boxed{u_n = u_0 + n \times r}$

Plus généralement, pour deux rangs $n$ et $p$ quelconques : $u_n = u_p + (n - p) \times r$.

Démonstration. Pour passer de $u_0$ à $u_n$, on ajoute $r$ à chaque étape, et il y a $n$ étapes : $u_1 = u_0 + r$, $u_2 = u_0 + 2r$, $u_3 = u_0 + 3r$… donc $u_n = u_0 + nr$. On peut aussi additionner les $n$ égalités $u_{k+1} - u_k = r$ pour $k$ allant de $0$ à $n-1$ : les termes intermédiaires se simplifient et il reste $u_n - u_0 = nr$.

Exemple : avec $u_0 = 5$ et $r = 3$, $u_n = 5 + 3n$, donc $u_{50} = 5 + 150 = 155$.

3.3 Lien avec les fonctions affines et variations

$u_n = u_0 + rn$ est de la forme $f(n)$ avec $f(x) = rx + u_0$ affine : les points $(n\,;\,u_n)$ sont alignés sur une droite de coefficient directeur $r$.

Le sens de variation se lit sur le signe de la raison :

Une suite arithmétique modélise une évolution à accroissement constant : un abonnement qui coûte $12$ € de plus chaque mois, une plante qui grandit de $2$ cm par semaine.

3.4 Somme des premiers entiers et somme de termes consécutifs

$\boxed{1 + 2 + 3 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2}}$

Démonstration. Notons $S = 1 + 2 + \cdots + n$. Écrivons la même somme à l'envers et additionnons terme à terme :

Donc $S = \dfrac{n(n+1)}{2}$. Par exemple $1 + 2 + \cdots + 100 = \dfrac{100 \times 101}{2} = 5050$.

Pour une suite arithmétique quelconque, la somme de termes consécutifs s'obtient avec la formule :

$\boxed{\text{Somme} = (\text{nombre de termes}) \times \frac{\text{premier terme} + \text{dernier terme}}{2}}$

En particulier $u_0 + u_1 + \cdots + u_n = (n+1) \times \dfrac{u_0 + u_n}{2}$.

Exemple : pour $u_n = 5 + 3n$, la somme $u_0 + u_1 + \cdots + u_{20}$ contient $21$ termes, de $u_0 = 5$ à $u_{20} = 65$ : elle vaut $21 \times \dfrac{5 + 65}{2} = 21 \times 35 = 735$.

4. Suites géométriques

4.1 Définition

Une suite $(u_n)$ est géométrique lorsqu'on passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre $q$, appelé la raison :

$\boxed{u_{n+1} = q \times u_n}$

Exemple : $u_0 = 2$ et $u_{n+1} = 3u_n$ : la suite $2, 6, 18, 54, 162, \ldots$ est géométrique de raison $3$.

Reconnaître une suite géométrique : si les termes sont non nuls, on vérifie que le quotient $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ est constant.

4.2 Terme général

Pour une suite géométrique de premier terme $u_0$ et de raison $q$ :

$\boxed{u_n = u_0 \times q^n}$

Plus généralement : $u_n = u_p \times q^{\,n-p}$.

Démonstration. On multiplie par $q$ à chaque étape, et il y a $n$ étapes de $u_0$ à $u_n$ : $u_1 = u_0 q$, $u_2 = u_0 q^2$, … , $u_n = u_0 q^n$.

Exemple : avec $u_0 = 2$ et $q = 3$, $u_n = 2 \times 3^n$, donc $u_{10} = 2 \times 59\,049 = 118\,098$.

4.3 Variations (cas $u_0 > 0$)

Si $u_0 < 0$, les sens de variation sont inversés pour $q > 1$ et $0 < q < 1$.

4.4 Évolution à taux constant

C'est le cas d'usage des suites géométriques. Une grandeur qui augmente de $t\,\%$ à chaque étape est multipliée par $1 + \dfrac{t}{100}$ ; une grandeur qui diminue de $t\,\%$ est multipliée par $1 - \dfrac{t}{100}$.

Exemple : un capital de $1\,000$ € placé à $2\,\%$ par an. Chaque année, il est multiplié par $1{,}02$. Le capital après $n$ années est $C_n = 1000 \times 1{,}02^n$ : suite géométrique de raison $1{,}02$.

Exemple : une population diminue de $5\,\%$ par an : $P_{n+1} = 0{,}95 \times P_n$, suite géométrique de raison $0{,}95$.

Au chapitre sur la fonction exponentielle, on retrouvera ces suites géométriques comme la version « à temps discret » d'une croissance exponentielle.

4.5 Somme $1 + q + q^2 + \cdots + q^n$

Pour $q \neq 1$ :

$\boxed{1 + q + q^2 + \cdots + q^n = \frac{1 - q^{\,n+1}}{1 - q}}$

Démonstration. Notons $S = 1 + q + \cdots + q^n$. Alors $qS = q + q^2 + \cdots + q^{n+1}$. En soustrayant, presque tout se simplifie :

$S - qS = 1 - q^{n+1} \quad \text{donc} \quad (1 - q)S = 1 - q^{n+1}$

et comme $q \neq 1$, $S = \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$.

Pour une suite géométrique : $u_0 + u_1 + \cdots + u_n = u_0 \times \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$.

Exemple : $1 + 2 + 4 + \cdots + 2^{10} = \dfrac{1 - 2^{11}}{1 - 2} = \dfrac{1 - 2048}{-1} = 2047$.

5. Vers la notion de limite

Quand $n$ devient très grand, que deviennent les termes ? Quelques comportements typiques :

En première, on ne donne pas de définition formelle de la limite. On conjecture le comportement à partir de calculs numériques, d'un graphique ou d'un algorithme de seuil, qui cherche le premier rang à partir duquel la suite dépasse une valeur donnée.

6. Algorithmes et Python

Les listes Python sont l'outil naturel pour manipuler une suite.

Calculer un terme d'une suite définie par récurrence ($u_0 = 3$, $u_{n+1} = 2u_n - 1$) :

def terme(n):
    u = 3
    for k in range(n):
        u = 2 * u - 1
    return u

Calculer une somme de termes ($1 + 2 + \cdots + n$) :

def somme(n):
    s = 0
    for k in range(1, n + 1):
        s = s + k
    return s

Chercher un seuil : premier rang $n$ tel que $C_n = 1000 \times 1{,}02^n$ dépasse $1200$ :

def seuil():
    n = 0
    c = 1000
    while c < 1200:
        c = c * 1.02
        n = n + 1
    return n

Construire la liste des premiers termes de la suite de Fibonacci ($u_0 = 1$, $u_1 = 1$, $u_{n+2} = u_{n+1} + u_n$) :

fib = [1, 1]
for k in range(8):
    fib.append(fib[-1] + fib[-2])
# fib vaut [1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55]

7. Exemple résolu pas à pas

Énoncé. On place $1\,000$ € sur un compte rémunéré à $2\,\%$ par an. On note $C_n$ le capital, en euros, après $n$ années.

1. Justifier que $(C_n)$ est géométrique et donner sa raison.
2. Exprimer $C_n$ en fonction de $n$, puis calculer le capital après $10$ ans.
3. Au bout de combien d'années le capital dépasse-t-il $1\,200$ € ?

Résolution.

1. Augmenter de $2\,\%$, c'est multiplier par $1 + \dfrac{2}{100} = 1{,}02$. Donc $C_{n+1} = 1{,}02 \times C_n$ : la suite est géométrique de raison $q = 1{,}02$ et de premier terme $C_0 = 1000$.

2. $C_n = 1000 \times 1{,}02^n$. Après $10$ ans : $C_{10} = 1000 \times 1{,}02^{10} \approx 1000 \times 1{,}219 \approx 1\,219$ €. Les intérêts « s'ajoutent aux intérêts » : on gagne plus que $10 \times 20 = 200$ €.

3. On cherche le plus petit $n$ tel que $1000 \times 1{,}02^n \geqslant 1200$, c'est-à-dire $1{,}02^n \geqslant 1{,}2$. À la calculatrice ou avec l'algorithme de seuil : $1{,}02^9 \approx 1{,}195 < 1{,}2$ et $1{,}02^{10} \approx 1{,}219 \geqslant 1{,}2$. Le capital dépasse $1\,200$ € au bout de $10$ ans.

📌 À retenir

1. $(u_n)$ est la suite, $u_n$ est le terme de rang $n$. Une suite se définit par une formule explicite $u_n = f(n)$, par une relation de récurrence $u_{n+1} = f(u_n)$ avec son premier terme, par un algorithme ou par un motif.
2. Variations : on étudie le signe de $u_{n+1} - u_n$ (ou on compare $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ à $1$ si les termes sont strictement positifs).
3. Arithmétique : $u_{n+1} = u_n + r$, terme général $u_n = u_0 + nr$, croissante si $r > 0$. Somme $=$ nombre de termes $\times \dfrac{\text{premier} + \text{dernier}}{2}$ et $1 + 2 + \cdots + n = \dfrac{n(n+1)}{2}$.
4. Géométrique : $u_{n+1} = q\,u_n$, terme général $u_n = u_0\, q^n$ ; pour $u_0 > 0$, croissante si $q > 1$, décroissante si $0 < q < 1$. Somme $1 + q + \cdots + q^n = \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$.
5. Une évolution de $t\,\%$ à chaque étape est une suite géométrique de raison $1 + \dfrac{t}{100}$ (ou $1 - \dfrac{t}{100}$ pour une baisse).
6. Le comportement de $u_n$ pour $n$ grand se conjecture avec des calculs, un graphique ou un algorithme de seuil.