🔢 Mathématiques (spécialité)1ereFiche de révision

Suites numériques

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Fiche de révision

📝 Fiche de révision — Suites numériques

📖 Définitions clés

Terme	Définition
Suite $(u_n)$	Fonction définie sur $\mathbb{N}$ : à chaque entier $n$ on associe un réel $u_n$ , le terme de rang $n$
Formule explicite	$u_n = f(n)$ : chaque terme se calcule directement à partir de son rang
Relation de récurrence	$u_{n+1} = f(u_n)$ avec $u_0$ donné : chaque terme se calcule à partir du précédent
Suite croissante	Pour tout $n$ , $u_{n+1} \geqslant u_n$
Suite décroissante	Pour tout $n$ , $u_{n+1} \leqslant u_n$
Suite arithmétique de raison $r$	$u_{n+1} = u_n + r$ : on ajoute toujours le même nombre
Suite géométrique de raison $q$	$u_{n+1} = q \times u_n$ : on multiplie toujours par le même nombre
Limite (approche intuitive)	Comportement des termes quand $n$ devient très grand : tend vers un nombre, vers $+\infty$ , vers $-\infty$ , ou n'a pas de limite

📐 Formules essentielles

Formule	Usage
$u_n = u_0 + n r$	Terme général d'une suite arithmétique
$u_n = u_p + (n - p) r$	Suite arithmétique, à partir d'un terme $u_p$ quelconque
$1 + 2 + \cdots + n = \dfrac{n(n+1)}{2}$	Somme des $n$ premiers entiers
$u_0 + \cdots + u_n = (n+1) \times \dfrac{u_0 + u_n}{2}$	Somme de termes consécutifs d'une suite arithmétique : nombre de termes $\times$ moyenne des extrêmes
$u_n = u_0 \times q^n$	Terme général d'une suite géométrique
$u_n = u_p \times q^{\,n-p}$	Suite géométrique, à partir d'un terme $u_p$ quelconque
$1 + q + \cdots + q^n = \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$ ( $q \neq 1$ )	Somme des puissances de $q$
$u_0 + \cdots + u_n = u_0 \times \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$	Somme de termes consécutifs d'une suite géométrique
$q = 1 + \dfrac{t}{100}$ ou $q = 1 - \dfrac{t}{100}$	Raison d'une évolution de $+t\,\%$ ou de $-t\,\%$ par étape

✅ Méthodes

Reconnaître la nature d'une suite :

Calculer $u_{n+1} - u_n$ : si c'est une constante $r$ , la suite est arithmétique de raison $r$ .
Sinon, calculer $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ (termes non nuls) : si c'est une constante $q$ , la suite est géométrique de raison $q$ .
Si ni l'un ni l'autre n'est constant, la suite n'est ni arithmétique ni géométrique.

Étudier le sens de variation :

Former $u_{n+1} - u_n$ et étudier son signe pour tout $n$ .
Si tous les termes sont strictement positifs, on peut aussi comparer $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ à $1$ .
Si $u_n = f(n)$ avec $f$ monotone sur $[0\,;\,+\infty[$ , la suite a les mêmes variations que $f$ .
Arithmétique : signe de $r$ . Géométrique avec $u_0 > 0$ : croissante si $q > 1$ , décroissante si $0 < q < 1$ .

Modéliser une évolution :

Repérer si l'on ajoute une même quantité (arithmétique) ou si l'on multiplie par un même nombre, par exemple un pourcentage (géométrique).
Identifier le premier terme et la raison.
Écrire le terme général, puis répondre à la question (valeur d'un terme, seuil, somme).

Trouver un seuil : chercher le premier rang $n$ tel que $u_n$ dépasse une valeur, à la calculatrice (tableau de valeurs) ou avec une boucle while en Python.

🐍 Python

def terme(n):        # u_0 = 3, u_(n+1) = 2u_n - 1
    u = 3
    for k in range(n):
        u = 2 * u - 1
    return u

def seuil(valeur):   # premier n tel que 1000 × 1,02^n ≥ valeur
    n, c = 0, 1000
    while c < valeur:
        c = c * 1.02
        n = n + 1
    return n

⚠️ Pièges à éviter

Piège	Correction
Confondre $(u_n)$ et $u_n$	$(u_n)$ est la suite entière, $u_n$ est un terme
Écrire $u_n = u_0 + (n-1)r$	Avec un premier terme $u_0$ , c'est $u_0 + nr$ . La formule $(n-1)r$ correspond à un premier terme $u_1$
Compter les termes d'une somme	De $u_3$ à $u_{12}$ , il y a $12 - 3 + 1 = 10$ termes, pas $9$
Croire que $q < 1$ rend toujours la suite décroissante	Vrai seulement si $u_0 > 0$ et $0 < q < 1$ . Si $q < 0$ , les termes changent de signe
Prendre $q = 2$ pour une hausse de $2\,\%$	Une hausse de $2\,\%$ multiplie par $1{,}02$
Relier les points du nuage	Une suite n'est définie que pour des entiers : on ne trace pas de courbe

📌 À retenir

Arithmétique = on ajoute $r$ , terme général $u_n = u_0 + nr$ , points alignés.
Géométrique = on multiplie par $q$ , terme général $u_n = u_0 \, q^n$ , évolution à taux constant.
Le sens de variation se prouve avec le signe de $u_{n+1} - u_n$ .
Les deux sommes à connaître : $\dfrac{n(n+1)}{2}$ et $\dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$ .
Une hausse de $t\,\%$ répétée est géométrique de raison $1 + \dfrac{t}{100}$ .

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