Tableau d'avancement et état final

Quand on fait brûler du méthane, combien de dioxyde de carbone se forme-t-il ? Reste-t-il du méthane, ou du dioxygène ? Pour répondre, il faut suivre l'évolution des quantités de matière de toutes les espèces au cours de la transformation. L'outil qui rend ce suivi systématique est le tableau d'avancement, construit autour d'une seule variable, l'avancement $x$. Il permet de prévoir la composition du système à la fin, de repérer le réactif limitant et de dire si une transformation est totale.

1. L'avancement d'une réaction

1.1 Les coefficients dictent les proportions

Dans l'équation $\text{CH}_4 + 2\,\text{O}_2 \to \text{CO}_2 + 2\,\text{H}_2\text{O}$, les nombres stœchiométriques ($1$, $2$, $1$, $2$) indiquent dans quelles proportions les espèces sont consommées ou formées : chaque fois qu'une mole de méthane disparaît, deux moles de dioxygène disparaissent, une mole de dioxyde de carbone et deux moles d'eau apparaissent.

1.2 Définition de l'avancement

L'avancement $x$, en moles, mesure « combien de fois » la réaction s'est produite depuis l'état initial. Pour une réaction $a\,\text{A} + b\,\text{B} \to c\,\text{C} + d\,\text{D}$ :

$n(\text{A}) = n_0(\text{A}) - a\,x \qquad n(\text{B}) = n_0(\text{B}) - b\,x \qquad n(\text{C}) = c\,x \qquad n(\text{D}) = d\,x$

• $x = 0$ dans l'état initial ;
• $x$ augmente au cours de la transformation ;
• la quantité d'un réactif diminue de $(\text{coefficient}) \times x$, celle d'un produit augmente de $(\text{coefficient}) \times x$.

2. Le tableau d'avancement

Le tableau d'avancement rassemble ces expressions. Il comporte une colonne par espèce de l'équation et trois lignes : état initial ($x = 0$), état en cours ($x$ quelconque), état final ($x = x_{\max}$ ou $x_f$).

Exemple : combustion de $0{,}30$ mol de méthane dans $0{,}50$ mol de dioxygène.

Les quantités sont en moles ; on n'y écrit jamais de masses ni de volumes. Si l'énoncé donne des masses, des volumes de gaz ou des concentrations, on les convertit d'abord ($n = m/M$, $n = V/V_m$, $n = CV$).

3. Réactif limitant et avancement maximal

3.1 Trouver $x_{\max}$

Une transformation totale s'arrête quand l'un des réactifs est entièrement consommé : c'est le réactif limitant. L'avancement atteint alors sa valeur maximale $x_{\max}$.

Méthode. Pour chaque réactif, on calcule la valeur de $x$ qui annule sa quantité ; $x_{\max}$ est la plus petite de ces valeurs, et le réactif correspondant est le réactif limitant.

Sur l'exemple : $0{,}30 - x = 0$ donne $x = 0{,}30$ mol ; $0{,}50 - 2x = 0$ donne $x = 0{,}25$ mol. Donc $x_{\max} = 0{,}25$ mol et le dioxygène est le réactif limitant. Le méthane est en excès.

État final : $n(\text{CH}_4) = 0{,}30 - 0{,}25 = 0{,}05$ mol ; $n(\text{O}_2) = 0$ ; $n(\text{CO}_2) = 0{,}25$ mol ; $n(\text{H}_2\text{O}) = 0{,}50$ mol.

3.2 Mélange stœchiométrique

Si les réactifs sont introduits dans les proportions de l'équation, ils sont tous consommés en même temps : le mélange est stœchiométrique et il n'y a pas de réactif en excès. La condition s'écrit

$\frac{n_0(\text{A})}{a} = \frac{n_0(\text{B})}{b}$

Pour la combustion du méthane, il faudrait $n_0(\text{O}_2) = 2\,n_0(\text{CH}_4)$ : par exemple $0{,}30$ mol de $\text{CH}_4$ et $0{,}60$ mol de $\text{O}_2$.

4. Transformation totale ou non totale

Dans la réalité, la réaction ne va pas toujours jusqu'à $x_{\max}$. On note $x_f$ l'avancement final réellement atteint :

• si $x_f = x_{\max}$, la transformation est totale : le réactif limitant a entièrement disparu ;
• si $x_f < x_{\max}$, la transformation est non totale : il reste tous les réactifs dans l'état final, la réaction s'est arrêtée avant d'épuiser le réactif limitant.

$x_f$ ne se calcule pas à partir des quantités initiales : il se mesure, à partir de la description de l'état final (quantité d'un produit formé, volume de gaz recueilli, masse restante…).

Exemple. On mélange $1{,}0$ mol d'acide éthanoïque et $1{,}0$ mol d'éthanol ; ils réagissent selon $\text{C}_2\text{H}_4\text{O}_2 + \text{C}_2\text{H}_6\text{O} \to \text{C}_4\text{H}_8\text{O}_2 + \text{H}_2\text{O}$. Le mélange est stœchiométrique : $x_{\max} = 1{,}0$ mol. À l'état final, on dose $0{,}67$ mol d'ester : $x_f = 0{,}67$ mol $< x_{\max}$, la transformation est non totale. Il reste $0{,}33$ mol de chaque réactif.

5. Calculer l'état final avec un programme

Le programme qui suit reproduit la méthode du paragraphe 3 pour une transformation totale : il calcule $x_{\max}$ comme le plus petit des rapports $n_0/\text{coefficient}$, puis la composition finale.

# Combustion du méthane : CH4 + 2 O2 -> CO2 + 2 H2O
n_CH4 = 0.30   # mol
n_O2 = 0.50    # mol

x_max = min(n_CH4 / 1, n_O2 / 2)
print("x_max =", x_max, "mol")
print("CH4 restant :", n_CH4 - 1 * x_max, "mol")
print("O2 restant  :", n_O2 - 2 * x_max, "mol")
print("CO2 forme   :", 1 * x_max, "mol")
print("H2O formee  :", 2 * x_max, "mol")

Sortie : x_max = 0.25 mol, puis 0.05, 0.0, 0.25 et 0.5 mol. La fonction min choisit le plus petit rapport : c'est exactement la recherche du réactif limitant.

6. Exemple résolu pas à pas

Énoncé. On verse $0{,}10$ mol de fer en poudre dans une solution contenant $0{,}15$ mol d'ions hydrogène $\text{H}^+$. La réaction, totale, a pour équation $\text{Fe} + 2\,\text{H}^+ \to \text{Fe}^{2+} + \text{H}_2$. $V_m = 24{,}0$ L·mol⁻¹.

a) Dresser le tableau d'avancement. b) Déterminer le réactif limitant et $x_{\max}$. c) Donner la composition de l'état final. d) Calculer le volume de dihydrogène dégagé.

Résolution.

a)

b) Fer : $0{,}10 - x = 0$ donne $x = 0{,}10$ mol. Ions hydrogène : $0{,}15 - 2x = 0$ donne $x = 0{,}075$ mol. La plus petite valeur est $0{,}075$ mol : $x_{\max} = 0{,}075$ mol et les ions $\text{H}^+$ constituent le réactif limitant.

c) $n(\text{Fe}) = 0{,}10 - 0{,}075 = 0{,}025$ mol ; $n(\text{H}^+) = 0$ ; $n(\text{Fe}^{2+}) = 0{,}075$ mol ; $n(\text{H}_2) = 0{,}075$ mol.

d) $V(\text{H}_2) = n\,V_m = 0{,}075 \times 24{,}0 = 1{,}8$ L.

🎯 Rédiger un tableau d'avancement. Écrire l'équation équilibrée en tête de tableau, convertir toutes les données en moles, remplir la ligne « en cours » avec les coefficients, puis calculer $x_{\max}$ pour chaque réactif avant de choisir le plus petit. Terminer par la ligne finale en valeurs numériques.

📌 À retenir

1. L'avancement $x$ (mol) : réactif $n = n_0 - (\text{coef})\,x$, produit $n = (\text{coef})\,x$.
2. Tableau d'avancement : équation, état initial, en cours, état final ; tout en moles.
3. Réactif limitant : celui qui s'annule pour la plus petite valeur de $x$ ; cette valeur est $x_{\max}$.
4. Mélange stœchiométrique : $n_0(\text{A})/a = n_0(\text{B})/b$, tous les réactifs disparaissent.
5. Transformation totale si $x_f = x_{\max}$ ; non totale si $x_f < x_{\max}$ ($x_f$ se déduit d'une mesure de l'état final).