Théorème de Thalès

Le théorème de Thalès est un des chapitres les plus importants du brevet. Il permet de calculer des longueurs dans des configurations de droites parallèles, de prouver un parallélisme (réciproque) ou un non-parallélisme (contraposée).

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1. Les deux configurations

Le théorème de Thalès s'applique dans deux configurations :

1.1 Configuration des triangles emboîtés

Les points $A$, $M$, $B$ sont alignés et les points $A$, $N$, $C$ sont alignés, avec $(MN) \parallel (BC)$.

$M$ est sur $[AB]$, $N$ est sur $[AC]$, et $(MN) \parallel (BC)$.

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1.2 Configuration « papillon »

Deux droites $(BM)$ et $(CN)$ se coupent en $A$, avec $(MN) \parallel (BC)$. Les points $M$ et $N$ sont « de l'autre côté » de $A$.

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2. Le théorème direct : calculer une longueur

2.1 Énoncé

Théorème de Thalès : Si les points $A$, $M$, $B$ et les points $A$, $N$, $C$ sont alignés dans le même ordre, et si $(MN) \parallel (BC)$, alors :

$\boxed{\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC}}$

Les rapports des longueurs découpées sur les deux droites sécantes sont égaux.

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2.2 Quand l'utiliser ?

On utilise le théorème direct pour calculer une longueur quand on sait que deux droites sont parallèles.

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2.3 Méthode de rédaction

C'est un exercice de rédaction au brevet — il faut être rigoureux :

Étape 1 → Identifier la configuration (emboîtée ou papillon) et les points. Étape 2 → Énoncer les hypothèses : « Les points $A$, $M$, $B$ sont alignés et les points $A$, $N$, $C$ sont alignés. Les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles. » Étape 3 → Citer le théorème : « D'après le théorème de Thalès : $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}$ » Étape 4 → Remplacer par les valeurs connues et résoudre. Étape 5 → Conclure.

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2.4 Exemple résolu — Configuration emboîtée

Énoncé : Dans un triangle $ABC$, $(MN) \parallel (BC)$, $AM = 3$ cm, $AB = 5$ cm, $AC = 8$ cm. Calculer $AN$.

Étape 1 → Configuration emboîtée, les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles (donné).

Étape 2 → D'après le théorème de Thalès : $\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC}$

Étape 3 → On remplace : $\frac{3}{5} = \frac{AN}{8}$

Étape 4 → Produit en croix : $AN = \frac{3 \times 8}{5} = \frac{24}{5} = 4{,}8$

Conclusion : $AN = 4{,}8$ cm.

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2.5 Exemple résolu — Configuration papillon

Énoncé : Les droites $(BM)$ et $(CN)$ se coupent en $A$. On sait que $(MN) \parallel (BC)$, $AB = 6$ cm, $AM = 4$ cm, $BC = 9$ cm. Calculer $MN$.

D'après le théorème de Thalès : $\frac{AM}{AB} = \frac{MN}{BC}$

$\frac{4}{6} = \frac{MN}{9}$

$MN = \frac{4 \times 9}{6} = \frac{36}{6} = 6$

Conclusion : $MN = 6$ cm.

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3. La réciproque : prouver un parallélisme

3.1 Énoncé

Réciproque du théorème de Thalès : Si les points $A$, $M$, $B$ et les points $A$, $N$, $C$ sont alignés dans le même ordre, et si :

$\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC}$

alors les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles.

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3.2 Quand l'utiliser ?

On utilise la réciproque pour prouver que deux droites sont parallèles.

⚠️ Condition essentielle : les points doivent être alignés dans le même ordre ($M$ entre $A$ et $B$, et $N$ entre $A$ et $C$ — ou les deux « à l'extérieur »). Si cette condition n'est pas vérifiée, on ne peut pas conclure.

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3.3 Exemple résolu

Énoncé : $A$, $M$, $B$ alignés et $A$, $N$, $C$ alignés dans le même ordre. $AM = 2$, $AB = 5$, $AN = 3$, $AC = 7{,}5$. Les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont-elles parallèles ?

Étape 1 → On calcule les rapports : $\frac{AM}{AB} = \frac{2}{5} = 0{,}4 \qquad \frac{AN}{AC} = \frac{3}{7{,}5} = 0{,}4$

Étape 2 → Les rapports sont égaux et les points sont alignés dans le même ordre.

Étape 3 → D'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles. ✅

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4. La contraposée : prouver un non-parallélisme

4.1 Énoncé

Contraposée du théorème de Thalès : Si les points sont alignés dans le bon ordre et si :

$\frac{AM}{AB} \neq \frac{AN}{AC}$

alors les droites $(MN)$ et $(BC)$ ne sont pas parallèles.

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4.2 Exemple résolu

Énoncé : $AM = 3$, $AB = 5$, $AN = 4$, $AC = 7$. Points alignés dans le même ordre. $(MN) \parallel (BC)$ ?

$\frac{AM}{AB} = \frac{3}{5} = 0{,}6 \qquad \frac{AN}{AC} = \frac{4}{7} \approx 0{,}571$

Les rapports sont différents. D'après la contraposée du théorème de Thalès, les droites $(MN)$ et $(BC)$ ne sont pas parallèles. ❌

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4.3 Récapitulatif : les trois outils

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5. Agrandissement, réduction et triangles semblables

5.1 Coefficient de réduction (ou d'agrandissement)

Dans une configuration de Thalès, si $(MN) \parallel (BC)$, le coefficient $k$ est :

$k = \frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC}$

• Si $k < 1$ : $MN < BC$ → c'est une réduction.
• Si $k > 1$ : $MN > BC$ → c'est un agrandissement.
• Si $k = 1$ : les figures sont de même taille.

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5.2 Effet sur les longueurs et les aires

Exemple : Si $k = \dfrac{3}{5}$, les longueurs sont multipliées par $\dfrac{3}{5}$ et les aires par $\left(\dfrac{3}{5}\right)^2 = \dfrac{9}{25}$.

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5.3 Triangles semblables

Deux triangles sont semblables s'ils ont les mêmes angles (même forme, pas forcément même taille). Dans une configuration de Thalès avec $(MN) \parallel (BC)$, les triangles $AMN$ et $ABC$ sont semblables.

Exemple : Si $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{2}{3}$, alors toutes les longueurs du triangle $AMN$ sont $\dfrac{2}{3}$ de celles du triangle $ABC$, et l'aire de $AMN$ est $\left(\dfrac{2}{3}\right)^2 = \dfrac{4}{9}$ de l'aire de $ABC$.

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6. Exemples de problèmes concrets

Exemple 1 — Mesurer une hauteur inaccessible

Problème : Pour mesurer la hauteur d'un arbre, on plante un bâton de $1{,}5$ m à $4$ m de l'arbre. Debout à $0{,}5$ m derrière le bâton, on aligne le sommet du bâton avec le sommet de l'arbre. Quelle est la hauteur de l'arbre ?

C'est une configuration de Thalès (triangles emboîtés). Le rapport est :

$\frac{\text{distance œil-bâton}}{\text{distance œil-arbre}} = \frac{\text{hauteur du bâton}}{\text{hauteur de l'arbre}}$

$\frac{0{,}5}{0{,}5 + 4} = \frac{1{,}5}{h} \quad \Rightarrow \quad \frac{0{,}5}{4{,}5} = \frac{1{,}5}{h} \quad \Rightarrow \quad h = \frac{1{,}5 \times 4{,}5}{0{,}5} = 13{,}5 \text{ m}$

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Exemple 2 — Avec la droite des milieux

Propriété (rappel de 4ème) : Dans un triangle, si $M$ est le milieu de $[AB]$ et $N$ le milieu de $[AC]$, alors $(MN) \parallel (BC)$ et $MN = \dfrac{BC}{2}$.

C'est un cas particulier de Thalès avec $k = \dfrac{1}{2}$.

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📌 À retenir

1. Théorème de Thalès (direct) : si $(MN) \parallel (BC)$, alors $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}$. Sert à calculer une longueur.

2. Réciproque : si les rapports sont égaux et les points dans le même ordre, alors $(MN) \parallel (BC)$. Sert à prouver un parallélisme.

3. Contraposée : si les rapports sont différents, alors $(MN)$ n'est pas parallèle à $(BC)$. Sert à prouver un non-parallélisme.

4. Deux configurations : triangles emboîtés (M et N à l'intérieur) et papillon (M et N de l'autre côté de A).

5. Rédaction au brevet : identifier la config → citer les hypothèses → citer le théorème → calculer → conclure.

6. Coefficient $k$ : les longueurs sont multipliées par $k$, les aires par $k^2$.