Transformations du plan

Ce chapitre couvre la translation (avec les vecteurs) et l'homothétie. Ce sont des transformations géométriques qui déplacent ou redimensionnent des figures.

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1. La translation

1.1 Définition

La translation est une transformation qui « glisse » tous les points d'une figure dans la même direction, le même sens et la même distance, sans rotation ni déformation.

L'image $M'$ de $M$ par la translation qui transforme $A$ en $B$ est telle que $ABM'M$ est un parallélogramme (éventuellement aplati si les points sont alignés).

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1.2 Propriétés de la translation

La translation conserve :

• Les longueurs (les distances ne changent pas)
• Les angles (les formes ne sont pas déformées)
• Les aires (les surfaces ne changent pas)
• Le parallélisme (des droites parallèles restent parallèles)

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1.3 Construire l'image d'un point

Méthode : Pour construire l'image $M'$ de $M$ par la translation qui transforme $A$ en $B$ :

1. Tracer la droite passant par $M$, parallèle à $(AB)$.
2. Reporter la longueur $AB$ sur cette droite, dans le même sens que de $A$ vers $B$.
3. Le point obtenu est $M'$.

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2. Les vecteurs

2.1 Définition

Un vecteur représente un déplacement. Il est caractérisé par trois informations :

Le vecteur qui translate $A$ en $B$ se note $\vec{AB}$. Le point $A$ est l'origine, $B$ est l'extrémité.

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2.2 Vecteurs égaux

Deux vecteurs sont égaux s'ils ont la même direction, le même sens et la même longueur.

$\boxed{\vec{AB} = \vec{DC} \iff ABCD \text{ est un parallélogramme}}$

⚠️ Attention à l'ordre des lettres ! $\vec{AB} = \vec{DC}$ signifie que $ABCD$ est un parallélogramme (pas $ABDC$ !). Le « chemin » $A \to B$ est le même que $D \to C$.

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2.3 Vecteur nul et opposé

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3. Somme de deux vecteurs

3.1 Enchaînement de translations

Additionner deux vecteurs, c'est enchaîner deux déplacements : on effectue le premier, puis le second à partir du point d'arrivée.

$A \xrightarrow{\vec{u}} B \xrightarrow{\vec{v}} C$

Le résultat global est $\vec{u} + \vec{v} = \vec{AC}$.

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3.2 La relation de Chasles

C'est la propriété fondamentale sur les vecteurs en 3ème :

$\boxed{\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}}$

Pour tous points $A$, $B$ et $C$.

💡 Astuce mnémotechnique : on « simplifie » les $B$ au milieu, comme une chaîne : $A \to B \to C$ donne $A \to C$.

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3.3 Exemple résolu — Simplifier une somme

Simplifier $\vec{MA} + \vec{BC} + \vec{AB}$.

Étape 1 → On réordonne pour créer une chaîne : $\vec{MA} + \vec{AB} + \vec{BC}$.

Étape 2 → Chasles sur les deux premiers : $\vec{MA} + \vec{AB} = \vec{MB}$.

Étape 3 → Chasles à nouveau : $\vec{MB} + \vec{BC} = \vec{MC}$.

$\boxed{\vec{MA} + \vec{BC} + \vec{AB} = \vec{MC}}$

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3.4 La règle du parallélogramme

Si $ABCD$ est un parallélogramme, alors :

$\boxed{\vec{AB} + \vec{AD} = \vec{AC}}$

La somme de deux vecteurs issus du même point correspond à la diagonale du parallélogramme.

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3.5 Autre exemple avec la relation de Chasles

Dans un parallélogramme $ABCD$, simplifier $\vec{AB} + \vec{AD}$.

Étape 1 → $ABCD$ est un parallélogramme, donc $\vec{DC} = \vec{AB}$.

Étape 2 → On remplace : $\vec{AB} + \vec{AD} = \vec{DC} + \vec{AD}$.

Étape 3 → On réordonne : $\vec{AD} + \vec{DC}$.

Étape 4 → Relation de Chasles : $\vec{AD} + \vec{DC} = \vec{AC}$.

$\boxed{\vec{AB} + \vec{AD} = \vec{AC}}$

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4. L'homothétie

4.1 Définition

L'homothétie de centre $O$ et de rapport $k$ transforme tout point $M$ en un point $M'$ tel que :

$\boxed{OM' = k \times OM}$

avec $M'$ sur la droite $(OM)$.

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4.2 Les différents cas selon $k$

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4.3 Exemple résolu

Construire l'image du point $M$ par l'homothétie de centre $O$ et de rapport $k = 2$.

Méthode :

1. Tracer la demi-droite $[OM)$.
2. Mesurer $OM$.
3. Reporter $OM' = 2 \times OM$ sur cette demi-droite, dans le même sens.
4. Le point obtenu est $M'$.

Si $OM = 3$ cm, alors $OM' = 2 \times 3 = 6$ cm.

Avec $k = -\dfrac{1}{2}$ :

1. Tracer la droite $(OM)$.
2. $OM' = \dfrac{1}{2} \times OM = 1{,}5$ cm.
3. $k < 0$ donc $M'$ est de l'autre côté de $O$ par rapport à $M$.

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4.4 Propriétés de l'homothétie

L'homothétie conserve :

• Les angles
• Le parallélisme
• L'alignement des points

L'homothétie modifie :

Exemple : Si $k = 3$, les longueurs sont multipliées par $3$, les aires par $9$, les volumes par $27$.

Exemple : Si $k = \dfrac{1}{2}$, les longueurs sont divisées par $2$, les aires par $4$.

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4.5 Lien avec le théorème de Thalès

Une configuration de Thalès correspond à une homothétie ! Si $(MN) \parallel (BC)$ dans un triangle $ABC$ :

• Le centre de l'homothétie est $A$.
• Le rapport est $k = \dfrac{AM}{AB}$.
• L'image de $B$ est $M$, l'image de $C$ est $N$.

C'est pourquoi les rapports de Thalès sont égaux : l'homothétie multiplie toutes les longueurs par le même rapport $k$.

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4.6 Image d'une figure par une homothétie

L'image d'une figure par une homothétie est une figure de même forme mais de taille différente :

• L'image d'un segment est un segment parallèle, de longueur multipliée par $|k|$.
• L'image d'un triangle est un triangle semblable (mêmes angles).
• L'image d'un cercle de rayon $r$ est un cercle de rayon $|k| \times r$.

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5. Résoudre des problèmes

Exemple 1 — Translation et parallélogramme

$ABCD$ est un parallélogramme. Soit $E$ l'image de $B$ par la translation qui transforme $A$ en $D$. Montrer que $C$ est le milieu de $[BE]$.

• La translation qui transforme $A$ en $D$ a pour vecteur $\vec{AD}$.
• L'image de $B$ est $E$, donc $\vec{BE} = \vec{AD}$.
• Or $ABCD$ parallélogramme → $\vec{BC} = \vec{AD}$.
• Donc $\vec{BE} = \vec{BC}$... Non, cela donnerait $E = C$.

Reprenons : $\vec{AE} = \vec{AB} + \vec{BE} = \vec{AB} + \vec{AD}$. Par la règle du parallélogramme, $\vec{AB} + \vec{AD} = \vec{AC}$. Donc $E$ n'est pas l'image de $B$ mais... En fait, l'image de $B$ par $\vec{AD}$ est le point $E$ tel que $\vec{BE} = \vec{AD} = \vec{BC}$, donc $E = C$. Prenons un autre exemple.

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Exemple 1 (corrigé) — Simplifier des vecteurs

$ABCD$ est un parallélogramme. Simplifier $\vec{BA} + \vec{BC}$.

• $ABCD$ parallélogramme → $\vec{BA} = \vec{CD}$ (côtés opposés).
• Donc $\vec{BA} + \vec{BC} = \vec{CD} + \vec{BC} = \vec{BC} + \vec{CD} = \vec{BD}$ (Chasles).

$\boxed{\vec{BA} + \vec{BC} = \vec{BD}}$

C'est la diagonale $[BD]$ du parallélogramme (l'autre diagonale !).

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Exemple 2 — Homothétie

Un triangle $ABC$ a des côtés $AB = 6$ cm, $AC = 8$ cm, $BC = 10$ cm et une aire de $24$ cm². On applique une homothétie de rapport $k = \dfrac{1}{3}$. Quelles sont les dimensions et l'aire du triangle image ?

• Longueurs : $A'B' = 6 \times \dfrac{1}{3} = 2$ cm, $A'C' = 8 \times \dfrac{1}{3} = \dfrac{8}{3}$ cm, $B'C' = 10 \times \dfrac{1}{3} = \dfrac{10}{3}$ cm.
• Aire : $24 \times \left(\dfrac{1}{3}\right)^2 = 24 \times \dfrac{1}{9} = \dfrac{24}{9} = \dfrac{8}{3} \approx 2{,}67$ cm².

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📌 À retenir

1. Translation : « glisse » tous les points. $M'$ image de $M$ → $ABM'M$ est un parallélogramme. Conserve longueurs, angles, aires.

2. Vecteur $\vec{AB}$ : défini par direction + sens + norme. $\vec{AB} = \vec{DC} \iff ABCD$ parallélogramme. Opposé : $\vec{BA} = -\vec{AB}$.

3. Relation de Chasles : $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$ — on « enchaîne » les déplacements.

4. Règle du parallélogramme : $\vec{AB} + \vec{AD} = \vec{AC}$ (diagonale).

5. Homothétie de centre $O$, rapport $k$ : $OM' = k \times OM$. Longueurs $\times |k|$, aires $\times k^2$.

6. Lien Thalès-homothétie : une configuration de Thalès est une homothétie de centre $A$.