Transformations du plan

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Fiche de révision

Terme	Définition
Translation	Transformation qui « glisse » chaque point dans la même direction, le même sens et la même distance. Si $A$ a pour image $B$ , alors $ABDC$ est un parallélogramme.
Vecteur $\vec{AB}$	Caractérisé par une direction, un sens (de $A$ vers $B$ ) et une longueur (norme).
Vecteurs égaux	$\vec{AB} = \vec{DC}$ signifie même direction, même sens, même longueur → $ABCD$ est un parallélogramme.
Vecteur nul	$\vec{AA} = \vec{0}$ : le point de départ = le point d'arrivée.
Vecteur opposé	$\vec{BA}$ est l'opposé de $\vec{AB}$ : $\vec{BA} = -\vec{AB}$ (même direction, sens contraire).
Homothétie	Transformation définie par un centre $O$ et un rapport $k$ ( $k \neq 0$ ). Elle agrandit ou réduit une figure depuis $O$ .

Formule	Signification
$\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$	Relation de Chasles : on « ferme la chaîne » (le point d'arrivée du 1er = point de départ du 2e).
$\vec{AB} = -\vec{BA}$	Inverser les lettres = vecteur opposé.
$ABCD$ parallélogramme $\iff \vec{AB} = \vec{DC}$	⚠️ Attention à l'ordre des lettres !
Homothétie de rapport $k$ : longueurs $\times \\|k\\|$	Les longueurs sont multipliées par la valeur absolue de $k$ .
Homothétie de rapport $k$ : aires $\times k^2$	Les aires sont multipliées par $k^2$ .

Simplifier une somme de vecteurs (Chasles)

Repérer les lettres qui se « suivent » : l'arrivée de l'un = le départ du suivant.
Simplifier : $\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CD} = \vec{AD}$ .
Si un vecteur gêne, utiliser $\vec{BA} = -\vec{AB}$ pour retourner le sens.

Règle du parallélogramme (somme de deux vecteurs depuis un même point)

Homothétie — lien avec Thalès

Erreur fréquente	Correction
Écrire $\vec{AB} = \vec{BA}$	FAUX ! $\vec{AB} = -\vec{BA}$ , le sens compte !
$ABCD$ parallélogramme $\Rightarrow \vec{AB} = \vec{CD}$	FAUX ! C'est $\vec{AB} = \vec{DC}$ (même sens de parcours).
Chasles : $\vec{AB} + \vec{CA} = \vec{AC}$	FAUX ! La chaîne ne se ferme pas ( $B \neq C$ ). Ici : $\vec{AB} + \vec{CA} = \vec{AB} - \vec{AC}$ .
Confondre effet sur longueurs et aires	Longueurs : $\times

L'ordre des lettres dans un vecteur est crucial : $\vec{AB}$ va de $A$ vers $B$ .
Relation de Chasles = l'outil n°1 : toujours vérifier que la chaîne se ferme.
La translation conserve longueurs, angles et parallélisme.
Homothétie : longueurs $\times |k|$ , aires $\times k^2$ , et le signe de $k$ détermine le côté de l'image.
$ABCD$ parallélogramme $\iff \vec{AB} = \vec{DC}$ — dessiner pour vérifier le sens !

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