Transformations — La symétrie centrale (demi-tour)

1. Qu'est-ce qu'un demi-tour ?

1.1 Définition

Le demi-tour de centre $O$ est une transformation qui, à tout point $M$ du plan, associe un point $M'$ tel que $O$ est le milieu du segment $[MM']$.

On dit aussi que $M'$ est le symétrique de $M$ par rapport au point $O$. Cette transformation s'appelle la symétrie centrale de centre $O$.

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1.2 Les trois propriétés fondamentales

• Le centre $O$ est le milieu de $[MM']$ : on a $OM = OM'$
• Les points $M$, $O$ et $M'$ sont alignés
• Le symétrique du centre $O$ est lui-même : $O' = O$

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2. Construire le symétrique d'un point par demi-tour

2.1 Méthode de construction 📏

Pour construire le symétrique $M'$ du point $M$ par rapport au centre $O$ :

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📐 Schéma du procédé de construction :

➡️ $M$ → on passe par $O$ → on reporte la distance → $M'$ ✅

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2.2 Exemple numérique résolu pas à pas 🔺

Énoncé : Sur un quadrillage, $M$ a pour coordonnées $(1\,;\,4)$ et le centre de symétrie est $O(3\,;\,2)$. Trouver $M'$.

Résolution :

Étape 1 → Calculer le déplacement de $M$ vers $O$ : $x_O - x_M = 3 - 1 = 2 \qquad;\qquad y_O - y_M = 2 - 4 = -2$

Étape 2 → Ajouter ce même déplacement à partir de $O$ : $x_{M'} = 3 + 2 = 5 \qquad;\qquad y_{M'} = 2 + (-2) = 0$

Étape 3 → Conclusion : $M'(5\,;\,0)$

Vérification : Le milieu de $[MM']$ vaut $\left(\frac{1+5}{2}\,;\,\frac{4+0}{2}\right) = (3\,;\,2) = O$ ✅

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2.3 Formule générale avec coordonnées

Si $M(x\,;\,y)$ et le centre est $O(a\,;\,b)$, alors le symétrique $M'$ a pour coordonnées :

$x_{M'} = 2a - x \qquad;\qquad y_{M'} = 2b - y$

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3. Propriétés de la symétrie centrale

3.1 Ce que conserve le demi-tour

La symétrie centrale conserve (ne modifie pas) :

• Les longueurs : si $AB = 5$ cm, alors $A'B' = 5$ cm
• Les angles : un angle de $60°$ reste à $60°$
• L'alignement : si trois points sont alignés, leurs symétriques le sont aussi
• Le parallélisme : deux droites parallèles ont des symétriques parallèles

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3.2 Tableau récapitulatif des images par symétrie centrale

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3.3 Lien avec les figures usuelles ◻️

Une figure admet un centre de symétrie si elle est sa propre image par un demi-tour.

• Le parallélogramme a un centre de symétrie : le point d'intersection de ses diagonales
• Le cercle a un centre de symétrie : son centre

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4. Ne pas confondre les deux symétries !

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📌 À retenir

1. Le symétrique de $M$ par rapport à $O$ est le point $M'$ tel que $O$ est le milieu de $[MM']$ (donc $M$, $O$, $M'$ alignés et $OM = OM'$).
2. Construire $M'$ : tracer la droite passant par $M$ et $O$, puis reporter la distance $OM$ de l'autre côté de $O$.
3. Avec des coordonnées : $x_{M'} = 2a - x$ et $y_{M'} = 2b - y$ si le centre est $O(a\,;\,b)$.
4. La symétrie centrale conserve les longueurs, les angles, l'alignement et le parallélisme.
5. Le parallélogramme est la figure clé qui possède un centre de symétrie (intersection de ses diagonales).