Transformations : Le demi-tour (symétrie centrale)

1. Qu'est-ce qu'un demi-tour ?

1.1 Définition

Le demi-tour de centre $O$ est une transformation qui, à tout point $A$, associe un point $A'$ tel que $O$ est le milieu du segment $[AA']$.

On dit aussi symétrie centrale de centre $O$. Le mot « demi-tour » vient du fait qu'on effectue une rotation de $180°$ autour du point $O$.

• Le point $A'$ s'appelle l'image de $A$ par le demi-tour de centre $O$
• Le point $A$ s'appelle l'antécédent de $A'$
• Le point $O$ s'appelle le centre de symétrie

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1.2 Comment construire l'image d'un point ?

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🔺 Méthode de construction de l'image de $A$ par le demi-tour de centre $O$

Étape 1 → Tracer la demi-droite $[AO)$ (de $A$ passant par $O$, et au-delà)

Étape 2 → Mesurer la distance $AO$ avec le compas ou la règle 📏

Étape 3 → Reporter cette même distance de l'autre côté de $O$ sur la demi-droite → on obtient $A'$

✅ Vérification : $O$ est bien le milieu de $[AA']$, donc $OA = OA'$

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1.3 Exemple numérique résolu pas à pas

📐 Énoncé : Soit $O$ un point et $A$ un point tel que $OA = 3$ cm. Construire $A'$, image de $A$ par le demi-tour de centre $O$.

On a bien : $OA = OA' = 3$ cm et $O$ est le milieu de $[AA']$.

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2. Propriétés du demi-tour

2.1 Conservation des longueurs

Le demi-tour conserve les distances : si $A'$ est l'image de $A$ et $B'$ l'image de $B$, alors :

$A'B' = AB$

👉 Un segment et son image ont la même longueur.

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2.2 Conservation des angles

Le demi-tour conserve les mesures d'angles : si un angle mesure $60°$, son image mesure aussi $60°$.

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2.3 Conservation de l'alignement

Si trois points $A$, $B$, $C$ sont alignés, alors leurs images $A'$, $B'$, $C'$ sont aussi alignées.

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2.4 Tableau récapitulatif des propriétés

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2.5 Conséquences sur les figures

Grâce à ces propriétés :

• L'image d'un segment est un segment de même longueur
• L'image d'un cercle de rayon $r$ est un cercle de même rayon $r$
• L'image d'un triangle est un triangle de mêmes dimensions (superposable)
• L'image d'une droite est une droite parallèle (ou confondue si elle passe par $O$)

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📏 Image d'un segment $[AB]$ par demi-tour de centre $O$

$AB = A'B'$ et $(AB) \parallel (A'B')$

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3. Centre de symétrie d'une figure

Une figure possède un centre de symétrie $O$ si son image par le demi-tour de centre $O$ est la figure elle-même (elle se superpose).

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📌 À retenir

1. Le demi-tour de centre $O$ transforme un point $A$ en un point $A'$ tel que $O$ est le milieu de $[AA']$ (donc $OA = OA'$).
2. Pour construire l'image : prolonger au-delà de $O$ et reporter la même distance.
3. Le demi-tour conserve les longueurs, les angles, l'alignement et les aires : la figure image est superposable à la figure d'origine.
4. L'image d'une droite par un demi-tour est une droite parallèle.
5. Une figure a un centre de symétrie si elle est sa propre image par un demi-tour (ex : le parallélogramme).