🔺 Triangles — Espace et géométrie (4ème)

I. La droite des milieux dans un triangle

1. Les trois théorèmes

Théorème 1 (direct) : Dans un triangle, la droite qui relie les milieux de deux côtés est parallèle au troisième côté et mesure la moitié de ce troisième côté.

Théorème 2 (réciproque partielle) : Dans un triangle, la droite passant par le milieu d'un côté et parallèle à un deuxième côté coupe le troisième côté en son milieu.

Théorème 3 : Dans un triangle, la droite passant par le milieu d'un côté et parallèle au deuxième côté coupe le troisième en son milieu (variante applicable aux deux autres côtés).

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2. Exemple résolu pas à pas

📐 Soit $ABC$ avec $AB = 8$ cm, $AC = 6$ cm, $BC = 10$ cm. $I$ milieu de $[AB]$, $J$ milieu de $[AC]$.

• Étape 1 → $I$ et $J$ sont les milieux de deux côtés du triangle $ABC$.
• Étape 2 → D'après le théorème de la droite des milieux : $(IJ) \parallel (BC)$.
• Étape 3 → Et $IJ = \frac{BC}{2} = \frac{10}{2} = 5$ cm. ✅

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II. Le théorème de Pythagore

1. Énoncé direct

Dans un triangle $ABC$ rectangle en $A$ :

$BC^2 = AB^2 + AC^2$

L'hypoténuse est le côté le plus long, opposé à l'angle droit.

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2. Exemple : calculer une longueur

🔺 $ABC$ rectangle en $A$, avec $AB = 3$ cm et $AC = 4$ cm. Calculer $BC$.

• Étape 1 → Écrire l'égalité : $BC^2 = AB^2 + AC^2$
• Étape 2 → Remplacer : $BC^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$
• Étape 3 → Conclure : $BC = \sqrt{25} = 5$ cm ✅

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📏 Schéma du triangle rectangle :

🔺 Angle droit en A → hypoténuse = $[BC]$

III. Réciproque et contraposée — Travail de logique

1. La réciproque du théorème de Pythagore

Elle sert à prouver qu'un triangle est rectangle.

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2. La contraposée du théorème de Pythagore

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3. Comprendre la logique

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4. Exemple avec la réciproque

Un triangle $EFG$ a pour dimensions : $EF = 5$, $FG = 12$, $EG = 13$.

• Étape 1 → Le plus grand côté est $[EG]$ : $EG^2 = 13^2 = 169$
• Étape 2 → $EF^2 + FG^2 = 25 + 144 = 169$
• Étape 3 → On a $EG^2 = EF^2 + FG^2$
• Étape 4 → D'après la réciproque du théorème de Pythagore, $EFG$ est rectangle en $F$. ✅

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5. Exemple avec la contraposée

Un triangle $RST$ : $RS = 4$, $ST = 5$, $RT = 7$.

• $RT^2 = 49$ et $RS^2 + ST^2 = 16 + 25 = 41$
• $49 \neq 41$ → D'après la contraposée, le triangle $RST$ n'est pas rectangle. ✅

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IV. Triangle rectangle et cercle circonscrit

1. Propriété fondamentale

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2. Déterminer le centre du cercle circonscrit

Pour un triangle rectangle en $A$ :

• Le centre du cercle circonscrit est le point $O$, milieu de $[BC]$ (l'hypoténuse)
• Le rayon vaut $R = \frac{BC}{2}$
• On a $OA = OB = OC = R$

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⭕ Schéma : triangle rectangle inscrit dans son cercle

📐 $[BC]$ diamètre → angle droit en $A$ → $O$ milieu de $[BC]$ = centre

3. Construire un rectangle sans équerre

Grâce à cette propriété, on peut tracer un angle droit sans équerre :

• Étape 1 → Tracer un segment $[BC]$ (futur diamètre)
• Étape 2 → Tracer le cercle de diamètre $[BC]$ (centre $O$ = milieu de $[BC]$)
• Étape 3 → Choisir un point $A$ sur le cercle (différent de $B$ et $C$)
• Étape 4 → Le triangle $BAC$ est rectangle en $A$ (angle inscrit dans un demi-cercle)
• Étape 5 → Recommencer avec un point $D$ de l'autre côté pour former le rectangle $ABDC$ ✅

On obtient ainsi un rectangle construit uniquement au compas et à la règle, sans équerre !

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📌 À retenir

1. Droite des milieux : elle est parallèle au 3e côté et mesure sa moitié → $IJ = \frac{BC}{2}$
2. Pythagore : dans un triangle rectangle en $A$ → $BC^2 = AB^2 + AC^2$
3. Réciproque : si l'égalité est vérifiée → le triangle est rectangle ; Contraposée : si elle ne l'est pas → il n'est pas rectangle
4. Cercle circonscrit : l'hypoténuse d'un triangle rectangle est un diamètre du cercle circonscrit ; son centre est le milieu de l'hypoténuse
5. On construit un rectangle sans équerre en inscrivant des triangles rectangles dans un demi-cercle