Triangles

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Fiche de révision

Terme	Définition
Droite des milieux	Droite qui passe par les milieux de deux côtés d'un triangle
Hypoténuse	Plus grand côté d'un triangle rectangle, opposé à l'angle droit
Réciproque	Théorème qui « inverse » hypothèse et conclusion
Contraposée	Théorème qui inverse et nie hypothèse et conclusion
Cercle circonscrit	Cercle passant par les 3 sommets d'un triangle

Théorème	Énoncé
Droite des milieux (1)	Si une droite passe par les milieux de deux côtés d'un triangle, alors elle est parallèle au 3ᵉ côté et mesure la moitié de ce côté : $MN = \dfrac{BC}{2}$
Droite des milieux (2)	Si une droite passe par le milieu d'un côté et est parallèle à un deuxième côté, alors elle passe par le milieu du 3ᵉ côté
Droite des milieux (3)	Si une droite passe par le milieu d'un côté et est parallèle au deuxième, alors $MN = \dfrac{BC}{2}$
Pythagore	Si $ABC$ est rectangle en $A$ , alors $BC^2 = AB^2 + AC^2$
Réciproque de Pythagore	Si $BC^2 = AB^2 + AC^2$ , alors $ABC$ est rectangle en $A$
Contraposée de Pythagore	Si $BC^2 \neq AB^2 + AC^2$ , alors $ABC$ n'est pas rectangle
Cercle circonscrit	Si un triangle est rectangle, alors son hypoténuse est un diamètre du cercle circonscrit. Le centre du cercle est le milieu de l'hypoténuse.
Réciproque (cercle)	Si un triangle est inscrit dans un cercle et qu'un côté est un diamètre, alors ce triangle est rectangle

Montrer qu'un triangle est rectangle :

Calculer le carré du plus grand côté : $BC^2$
Calculer la somme des carrés des deux autres : $AB^2 + AC^2$
Comparer → si égaux → rectangle (réciproque) ; si différents → pas rectangle (contraposée)

Construire un rectangle sans équerre :

Tracer un cercle de diamètre $[AC]$
Tout point $B$ du cercle forme un triangle $ABC$ rectangle (angle droit en $B$ )
Utiliser cette propriété pour obtenir des angles droits

Trouver le centre du cercle circonscrit d'un triangle rectangle : → C'est le milieu de l'hypoténuse, tout simplement !

Piège	Correction
Appliquer Pythagore dans un triangle non rectangle	Vérifier d'abord qu'il y a un angle droit !
Se tromper de côté pour $BC^2$	C'est toujours le plus grand côté (hypoténuse) qui est seul dans l'égalité
Confondre réciproque et contraposée	Réciproque = on inverse ; Contraposée = on inverse et on nie
Oublier de conclure avec le nom du théorème	Toujours écrire « D'après le théorème de Pythagore / sa réciproque / sa contraposée »
Cercle : dire que le centre est au milieu d'un côté quelconque	C'est le milieu de l'hypoténuse uniquement

Pythagore sert à calculer un côté ; sa réciproque/contraposée sert à prouver si un triangle est rectangle ou non.
La droite des milieux donne parallélisme et longueur moitié.
Triangle rectangle = hypoténuse = diamètre du cercle circonscrit → centre = milieu de l'hypoténuse.
Pour construire un angle droit sans équerre → inscris un triangle dans un demi-cercle.
Toujours nommer le théorème utilisé dans ta rédaction !

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