🔺 Les Triangles

1. Somme des angles d'un triangle

Propriété fondamentale

La somme des trois angles d'un triangle vaut toujours $180°$.

Si un triangle $ABC$ a pour angles $\widehat{A}$, $\widehat{B}$ et $\widehat{C}$, alors :

$\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180°$

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Démonstration 📐

On trace par $A$ la droite $(d)$ parallèle à $(BC)$.

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Les angles alternes-internes avec les parallèles donnent : l'angle à gauche de $A$ sur $(d)$ $= \widehat{B}$ et l'angle à droite $= \widehat{C}$. Comme ces trois angles forment un angle plat ($180°$), on a bien $\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180°$. ✅

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Exemple résolu pas à pas

• Étape 1 → Écrire la propriété : $\widehat{R} + \widehat{S} + \widehat{T} = 180°$
• Étape 2 → Remplacer : $55° + 80° + \widehat{T} = 180°$
• Étape 3 → Calculer : $\widehat{T} = 180° - 55° - 80° = 45°$

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2. Construire un triangle à partir de données partielles

On peut construire un triangle (unique, à la symétrie près) si l'on connaît :

⚠️ Attention : la somme de deux côtés doit toujours être supérieure au troisième (inégalité triangulaire).

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3. Aire d'un triangle

L'aire d'un triangle se calcule avec la formule :

$\mathcal{A} = \frac{b \times h}{2}$

où $b$ est la longueur d'un côté (la base) et $h$ est la hauteur correspondante (perpendiculaire abaissée sur cette base).

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4. Hauteurs et médianes

Les hauteurs

Une hauteur d'un triangle est le segment issu d'un sommet et perpendiculaire au côté opposé (ou à son prolongement).

Un triangle possède 3 hauteurs. Elles sont concourantes : elles se coupent toutes en un même point appelé orthocentre (noté $H$).

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📐 Propriété : Les trois hauteurs d'un triangle sont concourantes en l'orthocentre.

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Les médianes

Une médiane est le segment qui relie un sommet au milieu du côté opposé.

Un triangle possède 3 médianes, concourantes en un point appelé centre de gravité (noté $G$).

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Une médiane partage un triangle en deux triangles de même aire

Démonstration : La médiane $[AM]$ partage $ABC$ en triangles $ABM$ et $ACM$.

• Étape 1 → Les deux triangles ont la même base : $BM = MC$ (car $M$ est le milieu de $[BC]$).
• Étape 2 → Ils ont la même hauteur : la distance de $A$ à la droite $(BC)$, notons-la $h$.
• Étape 3 → Donc : $\mathcal{A}_{ABM} = \frac{BM \times h}{2} = \frac{MC \times h}{2} = \mathcal{A}_{ACM}$ ✅

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5. Médiatrices et cercle circonscrit

La médiatrice d'un segment est la droite perpendiculaire à ce segment passant par son milieu. Tout point de la médiatrice est équidistant (à égale distance) des deux extrémités.

Les trois médiatrices d'un triangle sont concourantes en un point $O$, appelé centre du cercle circonscrit : le cercle passant par les trois sommets.

Cas des triangles particuliers

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📌 À retenir

1. La somme des angles d'un triangle vaut toujours $180°$ (démonstration par les angles alternes-internes).
2. L'aire d'un triangle : $\mathcal{A} = \frac{b \times h}{2}$ avec $h$ la hauteur relative à la base $b$.
3. Les trois hauteurs sont concourantes en l'orthocentre ; les trois médianes en le centre de gravité.
4. Une médiane coupe un triangle en deux triangles de même aire (même base, même hauteur).
5. Les trois médiatrices se coupent au centre du cercle circonscrit $O$ ; dans un triangle rectangle, $O$ est le milieu de l'hypoténuse.