Triangles

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Fiche de révision

Terme	Définition
Hauteur	Droite passant par un sommet et perpendiculaire au côté opposé (ou à son prolongement)
Médiane	Segment reliant un sommet au milieu du côté opposé
Médiatrice	Droite perpendiculaire à un côté et passant par son milieu
Cercle circonscrit	Cercle passant par les 3 sommets du triangle
Orthocentre	Point de concours (intersection) des 3 hauteurs
Centre de gravité	Point de concours des 3 médianes

Propriété	Formule / Énoncé
Somme des angles	$\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180°$
Aire d'un triangle	$\mathcal{A} = \dfrac{base \times hauteur}{2}$
Angle manquant	$\widehat{C} = 180° - \widehat{A} - \widehat{B}$

Tracer une droite $(d)$ passant par un sommet, parallèle au côté opposé
Identifier deux paires d'angles alternes-internes (égaux car droites parallèles)
Les trois angles forment un angle plat (180°) sur la droite $(d)$ → CQFD

3 côtés (SSS) : tracer un côté, puis ouvrir le compas aux deux autres longueurs depuis chaque extrémité → intersection
2 côtés + 1 angle (SAS) : tracer un côté, construire l'angle au rapporteur, reporter le 2ᵉ côté au compas
1 côté + 2 angles (ASA) : tracer le côté, construire les deux angles aux extrémités → le 3ᵉ angle se déduit par $180° - ...$

Soit $M$ $M$ le milieu de $[BC]$ $[B C]$ . Les triangles $ABM$ $A B M$ et $ACM$ $A C M$ ont :
- la même base : $BM = MC$
- la même hauteur issue de $A$
Donc $\mathcal{A}_{ABM} = \mathcal{A}_{ACM} = \dfrac{\mathcal{A}_{ABC}}{2}$

Piège	Correction
Confondre hauteur et médiane	La hauteur est ⊥ au côté opposé ; la médiane va au milieu du côté opposé
Oublier que la hauteur peut être à l'extérieur du triangle	C'est le cas dans un triangle obtusangle
Penser que le centre du cercle circonscrit est toujours à l'intérieur	Il est sur l'hypoténuse (triangle rectangle) ou à l'extérieur (triangle obtusangle)
Oublier de diviser par 2 dans l'aire	$\mathcal{A} = \frac{b \times h}{\mathbf{2}}$ et non $b \times h$

Somme des angles = 180° → toujours vrai, quel que soit le triangle
Les 3 médiatrices sont concourantes → leur point commun est le centre du cercle circonscrit
Les 3 hauteurs sont concourantes en l'orthocentre
Cas particuliers : triangle rectangle → le cercle circonscrit a pour diamètre l'hypoténuse ; triangle équilatéral → hauteurs, médianes et médiatrices sont confondues
Une médiane coupe le triangle en deux triangles de même aire (même base, même hauteur)

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