Trigonométrie

Au collège, le cosinus et le sinus étaient définis dans un triangle rectangle, pour des angles entre $0°$ et $90°$. En première, on les étend à n'importe quel nombre réel, grâce à un cercle de rayon $1$ sur lequel on « enroule » la droite des réels. Cette extension est indispensable en physique (mouvements circulaires, ondes, courant alternatif) et elle prépare l'étude des fonctions trigonométriques en terminale.

Trois nouveautés dans ce chapitre : une nouvelle unité d'angle, le radian ; le cercle trigonométrique ; et des valeurs remarquables à connaître par cœur, avec leurs démonstrations.

1. Le radian

1.1 Définition

Sur un cercle de rayon $R$, un angle au centre de $1$ radian intercepte un arc de longueur $R$ : c'est l'angle pour lequel « l'arc a la même longueur que le rayon ».

Le tour complet mesure $2\pi R$, donc un tour complet vaut $2\pi$ radians, et un demi-tour vaut $\pi$ radians :

$\boxed{\pi \text{ rad} = 180°}$

1.2 Convertir des degrés en radians et inversement

Les mesures en degrés et en radians sont proportionnelles : on utilise le coefficient $\dfrac{\pi}{180}$.

Exemples : $150° = 150 \times \dfrac{\pi}{180} = \dfrac{5\pi}{6}$ rad. Réciproquement, $\dfrac{3\pi}{4}$ rad $= \dfrac{3}{4} \times 180° = 135°$.

1.3 Longueur d'un arc

Un arc de cercle de rayon $R$ intercepté par un angle au centre de $\theta$ radians a pour longueur

$\boxed{L = R \times \theta}$

C'est la raison d'être du radian : la formule est sans coefficient parasite. Avec des degrés, il faudrait écrire $L = \dfrac{2\pi R \theta}{360}$.

Exemple : sur un cercle de rayon $4$ cm, un angle de $\dfrac{2\pi}{3}$ intercepte un arc de longueur $4 \times \dfrac{2\pi}{3} = \dfrac{8\pi}{3} \approx 8{,}38$ cm.

2. Le cercle trigonométrique et l'enroulement de la droite

2.1 Définition

Le cercle trigonométrique est le cercle de centre $O$ et de rayon $1$, dans un repère orthonormé $(O\,;\,I\,;\,J)$, orienté dans le sens direct : le sens inverse des aiguilles d'une montre. Le point $I(1\,;\,0)$ est l'origine des arcs.

2.2 Enroulement de la droite des réels

Imaginons la droite des réels comme un fil tangent au cercle en $I$, l'origine $0$ du fil en $I$. On enroule le fil autour du cercle : les réels positifs dans le sens direct, les négatifs dans le sens indirect.

À tout réel $x$ correspond ainsi un unique point $M(x)$ du cercle, tel que l'arc de $I$ à $M$ ait pour longueur $|x|$. Comme le rayon vaut $1$, cet arc correspond à un angle au centre de $x$ radians.

Points à connaître :

2.3 Plusieurs réels, un même point

Le fil fait un tour complet pour une longueur $2\pi$. Donc $x$ et $x + 2\pi$ correspondent au même point, et plus généralement :

$\boxed{M(x + 2k\pi) = M(x) \quad \text{pour tout entier } k}$

Exemple : $\dfrac{7\pi}{3} = \dfrac{\pi}{3} + 2\pi$, donc $M\left(\dfrac{7\pi}{3}\right) = M\left(\dfrac{\pi}{3}\right)$. De même $-\dfrac{5\pi}{4} + 2\pi = \dfrac{3\pi}{4}$, donc $M\left(-\dfrac{5\pi}{4}\right) = M\left(\dfrac{3\pi}{4}\right)$.

Parmi tous les réels associés à un même point, un seul appartient à $]-\pi\,;\,\pi]$ : c'est la mesure principale. Pour la trouver, on ajoute ou retranche des multiples de $2\pi$.

🎯 Méthode pour placer $M(x)$ : ramener $x$ dans $]-\pi\,;\,\pi]$ en ajoutant ou retranchant $2\pi$, puis repérer la fraction de tour : $\dfrac{\pi}{6}$ est un douzième de tour, $\dfrac{\pi}{4}$ un huitième, $\dfrac{\pi}{3}$ un sixième, $\dfrac{\pi}{2}$ un quart.

3. Cosinus et sinus d'un nombre réel

3.1 Définition

Soit $x$ un réel et $M(x)$ le point associé sur le cercle trigonométrique. Le cosinus de $x$ est l'abscisse de $M$, le sinus de $x$ est son ordonnée :

$\boxed{M(x) = (\cos x\,;\,\sin x)}$

Comme $M$ est sur le cercle de rayon $1$, ses coordonnées sont comprises entre $-1$ et $1$, et le théorème de Pythagore dans le triangle $OHM$ donne la relation fondamentale :

$\boxed{-1 \leqslant \cos x \leqslant 1 \qquad -1 \leqslant \sin x \leqslant 1 \qquad \cos^2 x + \sin^2 x = 1}$

3.2 Lien avec le triangle rectangle

Pour $0 < x < \dfrac{\pi}{2}$, le triangle $OHM$ est rectangle en $H$ avec $OM = 1$. Le cosinus « du collège » donne $\cos x = \dfrac{OH}{OM} = OH$ et $\sin x = \dfrac{HM}{OM} = HM$ : on retrouve exactement l'abscisse et l'ordonnée de $M$. Les nouvelles définitions prolongent les anciennes à tous les réels.

3.3 Signes selon le quart de cercle

Le cosinus est positif « à droite » de l'axe des ordonnées, le sinus est positif « au-dessus » de l'axe des abscisses.

3.4 Périodicité

Puisque $M(x + 2\pi) = M(x)$ : pour tout réel $x$ et tout entier $k$,

$\cos(x + 2k\pi) = \cos x \qquad \sin(x + 2k\pi) = \sin x$

4. Valeurs remarquables

4.1 Le tableau à connaître par cœur

Moyen mnémotechnique : les cosinus sont $\dfrac{\sqrt{4}}{2}, \dfrac{\sqrt{3}}{2}, \dfrac{\sqrt{2}}{2}, \dfrac{\sqrt{1}}{2}, \dfrac{\sqrt{0}}{2}$, et les sinus la même liste dans l'autre sens.

4.2 Démonstration pour $\dfrac{\pi}{4}$ (exigible)

Soit $M = M\left(\dfrac{\pi}{4}\right)$. L'angle $\widehat{IOM}$ vaut $\dfrac{\pi}{4} = 45°$, donc dans le triangle $OHM$ rectangle en $H$, l'angle $\widehat{OMH}$ vaut aussi $45°$ : le triangle est isocèle en $H$, d'où $OH = HM$, c'est-à-dire $\cos\dfrac{\pi}{4} = \sin\dfrac{\pi}{4}$.

La relation fondamentale donne alors $2\cos^2\dfrac{\pi}{4} = 1$, soit $\cos^2\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{1}{2}$. Comme $\cos\dfrac{\pi}{4} > 0$ (premier quart de cercle) :

$\cos\frac{\pi}{4} = \sin\frac{\pi}{4} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

4.3 Démonstration pour $\dfrac{\pi}{3}$ (exigible)

Soit $M = M\left(\dfrac{\pi}{3}\right)$. Le triangle $OIM$ a deux côtés de longueur $1$ ($OI = OM = 1$, rayons) et un angle de $\dfrac{\pi}{3} = 60°$ en $O$ : il est isocèle avec un angle de $60°$, donc équilatéral.

Dans un triangle équilatéral, la hauteur issue de $M$ est aussi la médiane : le pied $H$ de la hauteur est le milieu de $[OI]$, donc $OH = \dfrac{1}{2}$, c'est-à-dire $\cos\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2}$.

Puis, par la relation fondamentale, $\sin^2\dfrac{\pi}{3} = 1 - \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}$ et, comme $\sin\dfrac{\pi}{3} > 0$ :

$\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} \qquad \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Les valeurs en $\dfrac{\pi}{6}$ s'en déduisent par la symétrie de la partie 5 : $\cos\dfrac{\pi}{6} = \sin\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ et $\sin\dfrac{\pi}{6} = \cos\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2}$.

5. Angles associés : lire le cercle

Les symétries du cercle permettent de déduire le cosinus et le sinus de nombreux réels à partir des valeurs remarquables. Chaque formule se lit sur le cercle, il est inutile de les apprendre sans les comprendre.

Exemples :

• $\cos\dfrac{5\pi}{6}$ : $\dfrac{5\pi}{6} = \pi - \dfrac{\pi}{6}$, donc $\cos\dfrac{5\pi}{6} = -\cos\dfrac{\pi}{6} = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ et $\sin\dfrac{5\pi}{6} = \sin\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2}$.
• $\sin\left(-\dfrac{\pi}{3}\right) = -\sin\dfrac{\pi}{3} = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
• $\cos\dfrac{7\pi}{6}$ : $\dfrac{7\pi}{6} = \pi + \dfrac{\pi}{6}$, donc $\cos\dfrac{7\pi}{6} = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ et $\sin\dfrac{7\pi}{6} = -\dfrac{1}{2}$.
• $\cos\dfrac{2\pi}{3}$ : $\dfrac{2\pi}{3} = \pi - \dfrac{\pi}{3}$, donc $\cos\dfrac{2\pi}{3} = -\dfrac{1}{2}$.

⚠️ Pour ne pas se tromper de signe, place toujours le point sur un cercle dessiné rapidement : le quart de cercle donne les signes, la valeur remarquable « de référence » donne les valeurs absolues.

Lire le cercle à l'envers : trouver $x$ connaissant $\cos x$ ou $\sin x$

Exemple : les réels $x$ de $]-\pi\,;\,\pi]$ tels que $\cos x = \dfrac{1}{2}$. Sur le cercle, les points d'abscisse $\dfrac{1}{2}$ sont $M\left(\dfrac{\pi}{3}\right)$ et son symétrique par rapport à l'axe des abscisses $M\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)$. Donc $x = \dfrac{\pi}{3}$ ou $x = -\dfrac{\pi}{3}$.

Exemple : $\sin x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ avec $x \in \,]-\pi\,;\,\pi]$. Les points d'ordonnée $-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ sont $M\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)$ et son symétrique par rapport à l'axe des ordonnées $M\left(-\dfrac{3\pi}{4}\right)$.

6. Algorithme : approcher $\pi$ avec Archimède

Archimède a encadré $\pi$ en calculant les périmètres de polygones réguliers inscrits dans un cercle, en doublant le nombre de côtés : hexagone, puis $12$, $24$, $48$, $96$ côtés.

Dans un cercle de rayon $1$, l'hexagone inscrit a des côtés de longueur $1$. Si $s$ est le côté du polygone à $n$ côtés, le côté du polygone à $2n$ côtés vaut $\sqrt{2 - \sqrt{4 - s^2}}$ (théorème de Pythagore appliqué deux fois). Le demi-périmètre $\dfrac{n \times s}{2}$ se rapproche de $\pi$, car le périmètre du cercle vaut $2\pi$.

from math import sqrt

s = 1.0   # côté de l'hexagone inscrit dans le cercle de rayon 1
n = 6
for k in range(6):
    s = sqrt(2 - sqrt(4 - s * s))   # côté du polygone à 2n côtés
    n = 2 * n
    print(n, n * s / 2)             # demi-périmètre, proche de pi

Résultats : $12$ côtés donnent $3{,}1058$, $24$ côtés $3{,}1326$, $48$ côtés $3{,}1394$, $96$ côtés $3{,}1410$, $384$ côtés $3{,}14156$. Archimède s'était arrêté à $96$ côtés et avait obtenu l'encadrement $3 + \dfrac{10}{71} < \pi < 3 + \dfrac{1}{7}$.

7. Exemple résolu pas à pas

Énoncé. Déterminer les valeurs exactes de $\cos\dfrac{5\pi}{4}$ et de $\sin\left(-\dfrac{7\pi}{6}\right)$.

Résolution.

Pour $\cos\dfrac{5\pi}{4}$. On écrit $\dfrac{5\pi}{4} = \pi + \dfrac{\pi}{4}$ : le point $M\left(\dfrac{5\pi}{4}\right)$ est le symétrique de $M\left(\dfrac{\pi}{4}\right)$ par rapport à $O$, dans le troisième quart de cercle où le cosinus est négatif. Donc

$\cos\frac{5\pi}{4} = -\cos\frac{\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}.$

Pour $\sin\left(-\dfrac{7\pi}{6}\right)$. On commence par ramener le réel dans $]-\pi\,;\,\pi]$ : $-\dfrac{7\pi}{6} + 2\pi = \dfrac{5\pi}{6}$, donc $\sin\left(-\dfrac{7\pi}{6}\right) = \sin\dfrac{5\pi}{6}$. Puis $\dfrac{5\pi}{6} = \pi - \dfrac{\pi}{6}$, et le sinus est conservé par la symétrie d'axe $(OJ)$ :

$\sin\left(-\frac{7\pi}{6}\right) = \sin\frac{5\pi}{6} = \sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}.$

Contrôle du signe : $M\left(\dfrac{5\pi}{6}\right)$ est dans le deuxième quart de cercle, au-dessus de l'axe des abscisses, le sinus est bien positif.

📌 À retenir

1. Radian : $\pi$ rad $= 180°$, conversion proportionnelle ; longueur d'arc $L = R\theta$.
2. Cercle trigonométrique : rayon $1$, sens direct ; le réel $x$ est enroulé depuis $I$ jusqu'au point $M(x)$ ; $M(x + 2k\pi) = M(x)$.
3. $\cos x$ et $\sin x$ sont l'abscisse et l'ordonnée de $M(x)$ ; $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$ ; ils prolongent les définitions du triangle rectangle.
4. Valeurs remarquables en $0$, $\dfrac{\pi}{6}$, $\dfrac{\pi}{4}$, $\dfrac{\pi}{3}$, $\dfrac{\pi}{2}$ : à savoir par cœur, avec les démonstrations pour $\dfrac{\pi}{4}$ (triangle isocèle) et $\dfrac{\pi}{3}$ (triangle équilatéral).
5. Angles associés : $-x$, $\pi - x$, $\pi + x$, $\dfrac{\pi}{2} - x$ se lisent par symétrie sur le cercle ; toujours dessiner le cercle pour les signes.