🔢 Mathématiques (spécialité)1ereFiche de révision

Trigonométrie

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Fiche de révision

📝 Fiche de révision — Trigonométrie

📖 Définitions clés

Terme	Définition
Radian	Unité d'angle : $1$ rad intercepte, sur un cercle, un arc de longueur égale au rayon. $\pi$ rad $= 180°$
Cercle trigonométrique	Cercle de centre $O$ , de rayon $1$ , orienté dans le sens direct (inverse des aiguilles d'une montre), origine $I(1\,;\,0)$
Enroulement	À tout réel $x$ on associe le point $M(x)$ obtenu en enroulant la droite des réels sur le cercle depuis $I$ ; $M(x + 2k\pi) = M(x)$
Mesure principale	L'unique réel de $]-\pi\,;\,\pi]$ associé à un point donné du cercle
Cosinus, sinus de $x$	$\cos x$ = abscisse de $M(x)$ , $\sin x$ = ordonnée de $M(x)$

📐 Formules essentielles

Formule	Usage
$\text{radians} = \text{degrés} \times \dfrac{\pi}{180}$	Conversion (proportionnalité)
$L = R \times \theta$ ( $\theta$ en radians)	Longueur d'un arc
$-1 \leqslant \cos x \leqslant 1$ , $-1 \leqslant \sin x \leqslant 1$	Encadrement
$\cos^2 x + \sin^2 x = 1$	Relation fondamentale : trouver $\sin x$ connaissant $\cos x$ (et le signe)
$\cos(x + 2k\pi) = \cos x$ , $\sin(x + 2k\pi) = \sin x$	Périodicité
$\cos(-x) = \cos x$ , $\sin(-x) = -\sin x$	Symétrie par rapport à l'axe des abscisses
$\cos(\pi - x) = -\cos x$ , $\sin(\pi - x) = \sin x$	Symétrie par rapport à l'axe des ordonnées
$\cos(\pi + x) = -\cos x$ , $\sin(\pi + x) = -\sin x$	Symétrie par rapport à $O$
$\cos\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right) = \sin x$ , $\sin\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right) = \cos x$	Échange cosinus et sinus

🎯 Valeurs remarquables (par cœur)

$x$	$0$	$\dfrac{\pi}{6}$ ( $30°$ )	$\dfrac{\pi}{4}$ ( $45°$ )	$\dfrac{\pi}{3}$ ( $60°$ )	$\dfrac{\pi}{2}$ ( $90°$ )
$\cos x$	$1$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$	$\dfrac{1}{2}$	$0$
$\sin x$	$0$	$\dfrac{1}{2}$	$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$1$

Mémo : cosinus $= \dfrac{\sqrt{4}}{2}, \dfrac{\sqrt{3}}{2}, \dfrac{\sqrt{2}}{2}, \dfrac{\sqrt{1}}{2}, \dfrac{\sqrt{0}}{2}$ ; sinus dans l'ordre inverse.

Démonstrations à savoir refaire :

$\dfrac{\pi}{4}$ : le triangle $OHM$ est rectangle isocèle, donc $\cos = \sin$ , puis $2\cos^2 = 1$ .
$\dfrac{\pi}{3}$ : le triangle $OIM$ est équilatéral, la hauteur est une médiane, donc $\cos\dfrac{\pi}{3} = OH = \dfrac{1}{2}$ , puis $\sin^2 = 1 - \dfrac{1}{4}$ .

✅ Méthodes

Placer $M(x)$ sur le cercle :

Ramener $x$ dans $]-\pi\,;\,\pi]$ en ajoutant ou retranchant $2\pi$ (par exemple $\dfrac{7\pi}{3} - 2\pi = \dfrac{\pi}{3}$ ).
Repérer la fraction de tour : $\dfrac{\pi}{6}$ = un douzième, $\dfrac{\pi}{4}$ = un huitième, $\dfrac{\pi}{3}$ = un sixième, $\dfrac{\pi}{2}$ = un quart.
Sens direct si $x > 0$ , sens indirect si $x < 0$ .

Calculer $\cos x$ ou $\sin x$ pour un réel « associé » :

Ramener dans $]-\pi\,;\,\pi]$ .
Écrire $x$ sous la forme $-a$ , $\pi - a$ , $\pi + a$ ou $\dfrac{\pi}{2} - a$ avec $a$ remarquable.
Lire la symétrie sur le cercle pour le signe, prendre la valeur absolue dans le tableau.

Trouver $\sin x$ connaissant $\cos x$ :

$\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$ .
Choisir le signe de $\sin x$ d'après l'intervalle où se trouve $x$ (quart de cercle).

Résoudre $\cos x = a$ ou $\sin x = a$ sur $]-\pi\,;\,\pi]$ (valeurs remarquables) :

Trouver le réel remarquable $x_0$ du tableau.
Le second point est le symétrique : $-x_0$ pour le cosinus, $\pi - x_0$ pour le sinus (ramené dans l'intervalle).

🐍 Python : Archimède

from math import sqrt
s, n = 1.0, 6            # hexagone inscrit dans le cercle de rayon 1
for k in range(6):
    s = sqrt(2 - sqrt(4 - s * s))   # côté du polygone à 2n côtés
    n = 2 * n
    print(n, n * s / 2)             # demi-périmètre, tend vers pi

⚠️ Pièges à éviter

Piège	Correction
Confondre $\cos$ et $\sin$ sur le cercle	Cosinus = abscisse (horizontal), sinus = ordonnée (vertical)
Oublier le signe pour un angle associé	Toujours dessiner le cercle : le quart de cercle donne les signes
Écrire $\cos(\pi - x) = \cos x$	Non : $\cos(\pi - x) = -\cos x$ ; c'est le sinus qui est conservé par $\pi - x$
Utiliser des degrés dans $L = R\theta$	$\theta$ doit être en radians
Ne donner qu'une solution à $\cos x = \dfrac{1}{2}$	Il y en a deux dans $]-\pi\,;\,\pi]$ : $\dfrac{\pi}{3}$ et $-\dfrac{\pi}{3}$
$\sqrt{\dfrac{1}{2}} = \dfrac{1}{2}$	$\sqrt{\dfrac{1}{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$

📌 À retenir

$\pi$ rad $= 180°$ ; $L = R\theta$ .
$M(x) = (\cos x\,;\,\sin x)$ sur le cercle de rayon $1$ ; $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$ .
Le tableau des valeurs remarquables, et les deux démonstrations ( $\dfrac{\pi}{4}$ et $\dfrac{\pi}{3}$ ).
Les angles associés se lisent par symétrie sur le cercle, pas par cœur.
$x$ et $x + 2k\pi$ ont le même point : ramener dans $]-\pi\,;\,\pi]$ avant tout calcul.

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