Trigonométrie du triangle rectangle

La trigonométrie permet de calculer des longueurs et des angles dans un triangle rectangle. Avec le théorème de Thalès (chapitre 10), c'est un des deux gros morceaux de géométrie au brevet.

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1. Rappel : le théorème de Pythagore

1.1 Énoncé

Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.

Si le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ :

$\boxed{BC^2 = AB^2 + AC^2}$

L'hypoténuse $[BC]$ est le côté le plus long, situé en face de l'angle droit.

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1.2 Quand utiliser Pythagore ?

Pythagore permet de calculer le troisième côté d'un triangle rectangle quand on connaît les deux autres côtés. Il n'intervient aucun angle dans Pythagore.

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2. Vocabulaire dans le triangle rectangle

Pour utiliser la trigonométrie, il faut d'abord nommer correctement les côtés par rapport à un angle aigu donné.

Dans un triangle rectangle en $A$, pour l'angle $\widehat{B}$ :

⚠️ L'hypoténuse est toujours la même quel que soit l'angle étudié. Mais les côtés adjacent et opposé changent selon l'angle choisi !

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3. Les trois rapports trigonométriques

Pour un angle aigu $\widehat{B}$ dans un triangle rectangle :

$\boxed{\cos(\widehat{B}) = \frac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}}} \qquad \boxed{\sin(\widehat{B}) = \frac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}}} \qquad \boxed{\tan(\widehat{B}) = \frac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}}}$

Moyen mnémotechnique : SOH — CAH — TOA

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Propriétés utiles

• $\cos$ et $\sin$ sont toujours compris entre $0$ et $1$ (car un côté est toujours plus court que l'hypoténuse).
• $\tan$ peut être supérieure à $1$.
• $\cos(0°) = 1$, $\cos(90°) = 0$, $\sin(0°) = 0$, $\sin(90°) = 1$.

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4. Comment choisir le bon rapport ?

C'est la question clé ! On identifie les deux côtés qui interviennent (le côté connu et le côté cherché, ou les deux côtés connus), puis on choisit le rapport qui les contient.

Méthode pas à pas

Étape 1 → Repérer l'angle droit et l'angle qu'on utilise. Étape 2 → Nommer les côtés : hypoténuse, adjacent, opposé (par rapport à l'angle choisi). Étape 3 → Identifier les deux côtés impliqués (connu + cherché, ou les deux connus). Étape 4 → Choisir le rapport correspondant (SOH, CAH ou TOA). Étape 5 → Écrire l'égalité, isoler l'inconnue, calculer.

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5. Calculer une longueur

On connaît un angle aigu et un côté, on cherche un autre côté.

Exemple 1 — Avec le sinus

Triangle $ABC$ rectangle en $A$, $\widehat{B} = 35°$, $BC = 10$ cm. Calculer $AC$.

Étape 1-2 → Angle droit en $A$, on travaille avec $\widehat{B}$.

• Hypoténuse : $BC = 10$ (en face de l'angle droit)
• Opposé à $\widehat{B}$ : $AC$ (ne touche pas $B$) → c'est ce qu'on cherche
• Adjacent à $\widehat{B}$ : $AB$

Étape 3 → On a l'opposé et l'hypoténuse → sinus (SOH).

Étape 4-5 → $\sin(\widehat{B}) = \frac{AC}{BC} \quad \Rightarrow \quad \sin(35°) = \frac{AC}{10} \quad \Rightarrow \quad AC = 10 \times \sin(35°)$

$AC \approx 10 \times 0{,}574 = 5{,}74 \text{ cm}$

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Exemple 2 — Avec le cosinus

Triangle $EFG$ rectangle en $F$, $\widehat{G} = 40°$, $EG = 12$ cm. Calculer $FG$.

• Hypoténuse : $EG = 12$ (en face de l'angle droit en $F$)
• Adjacent à $\widehat{G}$ : $FG$ (touche $G$) → c'est ce qu'on cherche
• Opposé à $\widehat{G}$ : $EF$

On a l'adjacent et l'hypoténuse → cosinus (CAH).

$\cos(40°) = \frac{FG}{12} \quad \Rightarrow \quad FG = 12 \times \cos(40°) \approx 12 \times 0{,}766 = 9{,}19 \text{ cm}$

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Exemple 3 — Avec la tangente

Triangle rectangle, $\widehat{B} = 50°$, côté adjacent $AB = 6$ cm. Calculer le côté opposé $AC$.

On a l'opposé et l'adjacent → tangente (TOA).

$\tan(50°) = \frac{AC}{6} \quad \Rightarrow \quad AC = 6 \times \tan(50°) \approx 6 \times 1{,}192 = 7{,}15 \text{ cm}$

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6. Calculer un angle

On connaît deux côtés, on cherche un angle.

Méthode

1. Identifier les deux côtés connus par rapport à l'angle cherché.
2. Choisir le rapport (SOH, CAH ou TOA).
3. Calculer la fraction.
4. Utiliser la fonction inverse de la calculatrice : $\cos^{-1}$, $\sin^{-1}$ ou $\tan^{-1}$ (souvent notées $\arccos$, $\arcsin$, $\arctan$, ou touche « 2nde » puis cos/sin/tan).

⚠️ Vérifier que la calculatrice est en mode DEGRÉS (pas en radians !).

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Exemple résolu

Triangle $EFG$ rectangle en $F$, $EF = 4$ cm, $FG = 7$ cm. Calculer $\widehat{G}$.

Étape 1-2 → Par rapport à $\widehat{G}$ :

• Opposé : $EF = 4$ (ne touche pas $G$)
• Adjacent : $FG = 7$ (touche $G$)

→ On a opposé et adjacent → tangente (TOA).

Étape 3 → $\tan(\widehat{G}) = \frac{EF}{FG} = \frac{4}{7}$

Étape 4 → $\widehat{G} = \tan^{-1}\left(\frac{4}{7}\right) \approx 29{,}7°$

Arrondi : $\widehat{G} \approx 30°$ (au degré près).

Vérification : $\widehat{E} \approx 90° - 30° = 60°$ (la somme des angles d'un triangle vaut $180°$). $\tan(60°) = \dfrac{7}{4} = 1{,}75$ et $\tan(60°) \approx 1{,}732$, c'est cohérent ✅.

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7. Pythagore ou trigonométrie ? Comment choisir ?

C'est la question que les élèves se posent le plus souvent. La règle est simple :

💡 Astuce : si le problème parle d'angles (autre que l'angle droit) → trigonométrie. Si le problème ne parle que de longueurs → Pythagore.

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8. Valeurs remarquables (à connaître)

💡 On remarque que $\cos(30°) = \sin(60°)$ et $\cos(60°) = \sin(30°)$. C'est toujours vrai : dans un triangle rectangle, les deux angles aigus sont complémentaires ($\widehat{B} + \widehat{C} = 90°$) et $\cos(\widehat{B}) = \sin(90° - \widehat{B})$.

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9. Exemple complet au niveau brevet

Problème : Un bateau est situé à $200$ m d'une falaise. Depuis le bateau, l'angle entre l'horizontale et le sommet de la falaise est de $25°$. Quelle est la hauteur de la falaise ?

Étape 1 → On modélise par un triangle rectangle :

• L'angle droit est au pied de la falaise.
• L'angle de $25°$ est au bateau.
• Le côté adjacent (horizontal) = $200$ m.
• Le côté opposé (vertical) = hauteur de la falaise $h$.

Étape 2 → On a opposé et adjacent → tangente.

$\tan(25°) = \frac{h}{200}$

Étape 3 → $h = 200 \times \tan(25°) \approx 200 \times 0{,}466 = 93{,}3 \text{ m}$

Conclusion : La falaise mesure environ $93$ m de haut.

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📌 À retenir

1. Pythagore : $BC^2 = AB^2 + AC^2$ — quand on a 3 côtés (en chercher un).

2. Vocabulaire : hypoténuse (en face de l'angle droit), adjacent (touche l'angle), opposé (ne touche pas l'angle).

3. SOH — CAH — TOA :

   • $\sin = \dfrac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}}$
   • $\cos = \dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}$
   • $\tan = \dfrac{\text{opposé}}{\text{adjacent}}$

4. Calculer une longueur : isoler le côté cherché dans l'égalité trigonométrique.

5. Calculer un angle : utiliser $\cos^{-1}$, $\sin^{-1}$ ou $\tan^{-1}$ sur la calculatrice (en mode degrés !).

6. Choisir : un angle intervient → trigo. Que des longueurs → Pythagore.