Variables aléatoires réelles

Dans un jeu de hasard, ce qui intéresse le joueur n'est pas l'issue elle-même (la face du dé, la carte tirée) mais le nombre qui lui est associé : le gain. Une variable aléatoire est précisément cela : un nombre qui dépend du hasard. Le chapitre apprend à décrire une telle variable par sa loi, à la résumer par son espérance (la moyenne à long terme) et son écart type (la dispersion), et à relier ces notions théoriques aux moyennes observées sur des échantillons simulés.

L'univers $\Omega$ est toujours fini dans ce chapitre.

1. Variable aléatoire et loi de probabilité

1.1 Définition

Une variable aléatoire réelle $X$ est une fonction qui, à chaque issue $\omega$ de l'univers $\Omega$, associe un nombre réel $X(\omega)$.

Exemple : on lance deux pièces équilibrées et l'on note $X$ le nombre de « pile ». L'univers est $\Omega = \{PP\,;\,PF\,;\,FP\,;\,FF\}$ et $X(PP) = 2$, $X(PF) = X(FP) = 1$, $X(FF) = 0$.

Notations. Pour un réel $a$, on note $\{X = a\}$ l'évènement « $X$ prend la valeur $a$ », c'est-à-dire l'ensemble des issues $\omega$ telles que $X(\omega) = a$. De même $\{X \leqslant a\}$, $\{X > a\}$, etc. Leurs probabilités se notent $P(X = a)$, $P(X \leqslant a)$…

Dans l'exemple, $\{X = 1\} = \{PF\,;\,FP\}$ et $P(X = 1) = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}$ ; $\{X \leqslant 1\} = \{PF\,;\,FP\,;\,FF\}$ et $P(X \leqslant 1) = \dfrac{3}{4}$.

🎯 Traduire en langage courant : « $X \geqslant 2$ » se lit « obtenir au moins deux piles », « $X < 2$ » se lit « obtenir moins de deux piles », c'est-à-dire au plus une. Savoir passer d'un registre à l'autre est une capacité attendue.

1.2 Loi de probabilité

La loi de probabilité de $X$ est la donnée de toutes les valeurs possibles $x_1, x_2, \ldots, x_n$ de $X$ et des probabilités $p_i = P(X = x_i)$ correspondantes. On la présente dans un tableau, et la somme des probabilités vaut toujours $1$.

Exemple (jeu). On mise $2$ €, puis on lance un dé équilibré : un $6$ rapporte $10$ €, un $2$ ou un $4$ rapporte $2$ €, les autres faces ne rapportent rien. Soit $X$ le gain net (gain reçu moins la mise). Ses valeurs sont $10 - 2 = 8$, $2 - 2 = 0$ et $0 - 2 = -2$ :

Exemple (arbre). Un basketteur réussit chaque lancer franc avec la probabilité $0{,}7$ ; $Y$ est le nombre de réussites sur $3$ lancers. En comptant les chemins de l'arbre (chapitre précédent) :

2. Espérance

2.1 Définition

L'espérance de $X$ est la moyenne des valeurs de $X$ pondérée par leurs probabilités :

$\boxed{E(X) = x_1 p_1 + x_2 p_2 + \cdots + x_n p_n = \sum_{i=1}^{n} x_i\,P(X = x_i)}$

Interprétation. Si l'on répète l'expérience un très grand nombre de fois, la moyenne des valeurs obtenues se rapproche de $E(X)$. C'est la valeur « moyenne à long terme » de $X$.

Exemples :

• Deux pièces : $E(X) = 0 \times \dfrac{1}{4} + 1 \times \dfrac{1}{2} + 2 \times \dfrac{1}{4} = 1$ pile en moyenne.
• Jeu de dé : $E(X) = 8 \times \dfrac{1}{6} + 0 \times \dfrac{1}{3} + (-2) \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{8}{6} - 1 = \dfrac{1}{3}$. En moyenne, le joueur gagne environ $0{,}33$ € par partie : le jeu lui est favorable.
• Lancers francs : $E(Y) = 0 \times 0{,}027 + 1 \times 0{,}189 + 2 \times 0{,}441 + 3 \times 0{,}343 = 2{,}1$ réussites en moyenne (soit $3 \times 0{,}7$).

2.2 Jeu équitable

Un jeu est équitable lorsque l'espérance du gain net est nulle : à long terme, ni le joueur ni l'organisateur ne gagnent. Pour rendre le jeu de dé équitable, on cherche la mise $m$ telle que $E(\text{gain brut}) - m = 0$. Or $E(\text{gain brut}) = 10 \times \dfrac{1}{6} + 2 \times \dfrac{1}{3} = \dfrac{7}{3}$, donc $m = \dfrac{7}{3} \approx 2{,}33$ €.

2.3 Linéarité de l'espérance

Pour tous réels $a$ et $b$ :

$\boxed{E(aX + b) = a\,E(X) + b}$

Démonstration. La variable $aX + b$ prend les valeurs $ax_i + b$ avec les probabilités $p_i$. Donc $E(aX + b) = \sum (ax_i + b)\,p_i = a \sum x_i p_i + b \sum p_i = a\,E(X) + b$, puisque $\sum p_i = 1$.

Utilisation. Si $G$ est le gain brut et $m$ la mise, le gain net est $G - m$ et $E(G - m) = E(G) - m$ : inutile de refaire le tableau. Si l'on exprime un gain en centimes plutôt qu'en euros, l'espérance est multipliée par $100$.

3. Variance et écart type

3.1 Définitions

L'espérance ne dit pas tout : deux jeux peuvent avoir la même espérance, l'un avec des gains toujours proches de la moyenne, l'autre avec des gains très dispersés (et donc plus « risqué »). La variance mesure cette dispersion :

$\boxed{V(X) = \sum_{i=1}^{n} \big(x_i - E(X)\big)^2\,p_i = E\Big(\big(X - E(X)\big)^2\Big)}$

C'est la moyenne pondérée des carrés des écarts à l'espérance. L'écart type est $\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$ ; il s'exprime dans la même unité que $X$.

Exemple (deux pièces) : $E(X) = 1$, donc $V(X) = (0 - 1)^2 \times \dfrac{1}{4} + (1 - 1)^2 \times \dfrac{1}{2} + (2 - 1)^2 \times \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{4} + 0 + \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{2}$ et $\sigma(X) = \sqrt{\dfrac{1}{2}} \approx 0{,}71$.

3.2 Formule de König-Huygens

$\boxed{V(X) = E(X^2) - \big(E(X)\big)^2}$

où $E(X^2) = \sum x_i^2\,p_i$. Cette formule évite de calculer les écarts un par un.

Démonstration. Notons $\mu = E(X)$. En développant $(X - \mu)^2 = X^2 - 2\mu X + \mu^2$ et en utilisant la linéarité de l'espérance :

$V(X) = E(X^2 - 2\mu X + \mu^2) = E(X^2) - 2\mu\,E(X) + \mu^2 = E(X^2) - 2\mu^2 + \mu^2 = E(X^2) - \mu^2$

Exemple (jeu de dé) : $E(X^2) = 64 \times \dfrac{1}{6} + 0 \times \dfrac{1}{3} + 4 \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{64}{6} + 2 = \dfrac{38}{3}$, donc $V(X) = \dfrac{38}{3} - \left(\dfrac{1}{3}\right)^2 = \dfrac{114 - 1}{9} = \dfrac{113}{9} \approx 12{,}56$ et $\sigma(X) \approx 3{,}54$ €. L'espérance est faible ($0{,}33$ €) devant l'écart type : les gains varient beaucoup d'une partie à l'autre.

Exemple (lancers francs) : $E(Y^2) = 0{,}189 + 4 \times 0{,}441 + 9 \times 0{,}343 = 5{,}04$, donc $V(Y) = 5{,}04 - 2{,}1^2 = 0{,}63$ et $\sigma(Y) \approx 0{,}79$.

4. Du point de vue statistique au point de vue probabiliste

Une population statistique peut être étudiée en tirant au hasard un individu, avec équiprobabilité. Les notions se correspondent alors terme à terme :

Exemple : dans une classe, les notes sont $8$ (cinq élèves), $12$ (dix élèves), $16$ (cinq élèves). En tirant un élève au hasard, sa note $N$ a pour loi $P(N = 8) = \dfrac{1}{4}$, $P(N = 12) = \dfrac{1}{2}$, $P(N = 16) = \dfrac{1}{4}$, et $E(N) = 12$ est exactement la moyenne de classe.

5. Expérimentations : échantillons simulés

5.1 Simuler une variable aléatoire

En Python, random() renvoie un réel au hasard dans $[0\,;\,1[$ et randint(1, 6) un entier au hasard entre $1$ et $6$. Pour simuler le jeu de dé de la partie 1 :

from random import randint

def gain():
    d = randint(1, 6)
    if d == 6:
        return 8
    if d == 2 or d == 4:
        return 0
    return -2

5.2 Moyenne d'un échantillon

Un échantillon de taille $n$ est une liste de $n$ valeurs obtenues en répétant $n$ fois l'expérience. Sa moyenne $m$ est une valeur observée, qui change d'un échantillon à l'autre ; elle est proche de l'espérance $\mu = E(X)$ quand $n$ est grand.

def moyenne_echantillon(n):
    s = 0
    for k in range(n):
        s = s + gain()
    return s / n

Avec $n = 10$, on peut obtenir $1{,}4$ ou $-0{,}8$ ; avec $n = 10\,000$, on obtient presque toujours une valeur entre $0{,}25$ et $0{,}40$, proche de $\mu = \dfrac{1}{3}$. La distance entre $m$ et $\mu$ diminue quand $n$ augmente : c'est le principe de l'estimation de l'espérance par une moyenne observée.

5.3 Fluctuation des moyennes : la règle des $\dfrac{2\sigma}{\sqrt{n}}$

On simule $N$ échantillons de taille $n$ et l'on calcule la proportion de ceux dont la moyenne $m$ vérifie $|m - \mu| \leqslant \dfrac{2\sigma}{\sqrt{n}}$, où $\sigma = \sigma(X)$.

from math import sqrt

def proportion(n, N, mu, sigma):
    c = 0
    for k in range(N):
        m = moyenne_echantillon(n)
        if abs(m - mu) <= 2 * sigma / sqrt(n):
            c = c + 1
    return c / N

Exemple avec un dé équilibré ($X$ = résultat du dé) : $\mu = 3{,}5$, $V(X) = \dfrac{35}{12}$, $\sigma \approx 1{,}71$. Pour $n = 100$, $\dfrac{2\sigma}{\sqrt{n}} \approx 0{,}34$ : environ $95\,\%$ des échantillons de $100$ lancers ont une moyenne comprise entre $3{,}16$ et $3{,}84$. Cette proportion d'environ $95\,\%$ s'observe quelle que soit la variable simulée, dès que $n$ est assez grand. Elle sera justifiée en terminale.

6. Exemple résolu pas à pas

Énoncé. Une tombola vend $100$ billets à $2$ € chacun. Un billet gagne un lot de $50$ €, quatre billets gagnent un lot de $10$ €, les autres ne gagnent rien. On achète un billet ; $X$ désigne le gain net (valeur du lot moins le prix du billet).

1. Donner la loi de probabilité de $X$.
2. Calculer $E(X)$ et interpréter.
3. Quel devrait être le prix du billet pour que la tombola soit équitable ?

Résolution.

1. Les valeurs de $X$ sont $50 - 2 = 48$ (un billet sur $100$), $10 - 2 = 8$ (quatre billets sur $100$) et $0 - 2 = -2$ (les $95$ autres).

2. $E(X) = 48 \times 0{,}01 + 8 \times 0{,}04 + (-2) \times 0{,}95 = 0{,}48 + 0{,}32 - 1{,}90 = -1{,}10$. En moyenne, un participant perd $1{,}10$ € par billet : la tombola est défavorable au joueur, ce qui est normal pour une tombola dont le but est de collecter de l'argent.

3. Par linéarité, $E(X) = E(G) - m$ où $G$ est la valeur du lot et $m$ le prix du billet. $E(G) = 50 \times 0{,}01 + 10 \times 0{,}04 = 0{,}90$ €. Le jeu serait équitable pour $m = 0{,}90$ € : au-delà, l'organisateur gagne en moyenne.

📌 À retenir

1. Une variable aléatoire associe un nombre à chaque issue ; $\{X = a\}$ est un évènement, $P(X = a)$ sa probabilité.
2. La loi de $X$ : tableau des valeurs et de leurs probabilités, de somme $1$.
3. Espérance $E(X) = \sum x_i p_i$ : moyenne à long terme. Jeu équitable $\iff$ $E(\text{gain net}) = 0$. Linéarité : $E(aX + b) = aE(X) + b$.
4. Variance $V(X) = \sum (x_i - E(X))^2 p_i = E(X^2) - E(X)^2$ (König-Huygens) ; écart type $\sigma = \sqrt{V}$ : dispersion, risque.
5. Statistique ↔ probabilités : fréquence ↔ probabilité, moyenne ↔ espérance.
6. Échantillons simulés : la moyenne observée $m$ se rapproche de $\mu$ quand $n$ grandit ; environ $95\,\%$ des échantillons de taille $n$ vérifient $|m - \mu| \leqslant \dfrac{2\sigma}{\sqrt{n}}$.