🔢 Mathématiques (spécialité)1ereFiche de révision

Variables aléatoires réelles

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Fiche de révision

📝 Fiche de révision — Variables aléatoires réelles

📖 Définitions clés

Terme	Définition
Variable aléatoire réelle $X$	Fonction qui associe un nombre réel à chaque issue de l'univers (fini)
$\{X = a\}$ , $\{X \leqslant a\}$	Évènements « $X$ prend la valeur $a$ », « $X$ est inférieure ou égale à $a$ » ; probabilités $P(X = a)$ , $P(X \leqslant a)$
Loi de probabilité de $X$	Tableau des valeurs $x_i$ et des probabilités $p_i = P(X = x_i)$ , avec $\sum p_i = 1$
Espérance $E(X)$	Moyenne des valeurs pondérée par les probabilités ; valeur moyenne à long terme
Variance $V(X)$ , écart type $\sigma(X)$	Mesures de la dispersion des valeurs autour de l'espérance ; $\sigma = \sqrt{V}$ , même unité que $X$
Jeu équitable	Espérance du gain net nulle
Échantillon de taille $n$	Liste de $n$ valeurs obtenues en répétant $n$ fois l'expérience ; sa moyenne $m$ estime $E(X)$

📐 Formules essentielles

Formule	Usage
$E(X) = \sum x_i\,p_i$	Espérance
$E(aX + b) = a\,E(X) + b$	Linéarité : changement d'unité, mise soustraite
$V(X) = \sum (x_i - E(X))^2\,p_i$	Variance (définition)
$V(X) = E(X^2) - E(X)^2$ avec $E(X^2) = \sum x_i^2\,p_i$	König-Huygens : calcul rapide de la variance
$\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$	Écart type
$\\|m - \mu\\| \leqslant \dfrac{2\sigma}{\sqrt{n}}$ pour environ $95\,\%$ des échantillons	Fluctuation des moyennes d'échantillons de taille $n$

✅ Méthodes

Déterminer la loi de $X$ :

Lister toutes les valeurs possibles (attention aux gains nets : lot moins mise).
Pour chaque valeur, regrouper les issues (ou les chemins d'un arbre) et calculer la probabilité.
Vérifier que la somme des probabilités vaut $1$ .

Calculer $E(X)$ , $V(X)$ , $\sigma(X)$ :

$E(X) = \sum x_i p_i$ .
$E(X^2) = \sum x_i^2 p_i$ (élever les valeurs au carré, pas les probabilités).
$V(X) = E(X^2) - E(X)^2$ , puis $\sigma = \sqrt{V}$ .

Jeu équitable / mise : $E(\text{gain net}) = E(\text{gain brut}) - \text{mise}$ ; le jeu est équitable si ce nombre est nul, favorable au joueur s'il est positif.

Traduire un évènement : « au moins $2$ » $= \{X \geqslant 2\}$ ; « au plus $1$ » $= \{X \leqslant 1\}$ ; « strictement plus de $1$ » $= \{X > 1\}$ ; $P(X \leqslant a)$ s'obtient en additionnant les $P(X = x_i)$ pour $x_i \leqslant a$ .

Simuler et estimer : simuler $X$ avec random, calculer la moyenne d'un échantillon de taille $n$ , comparer à $\mu = E(X)$ ; plus $n$ est grand, plus $m$ est proche de $\mu$ .

🐍 Python

from random import randint
from math import sqrt

def gain():                      # gain net du jeu de dé (mise 2 €)
    d = randint(1, 6)
    if d == 6:
        return 8
    if d == 2 or d == 4:
        return 0
    return -2

def moyenne_echantillon(n):      # moyenne de n parties
    s = 0
    for k in range(n):
        s = s + gain()
    return s / n

def proportion(n, N, mu, sigma): # part des N échantillons de taille n
    c = 0                        # dont la moyenne est à moins de 2σ/√n de μ
    for k in range(N):
        if abs(moyenne_echantillon(n) - mu) <= 2 * sigma / sqrt(n):
            c = c + 1
    return c / N                 # ≈ 0,95

📊 Exemples à connaître

Situation	Loi	$E$	$V$
$X$ = nombre de piles sur $2$ lancers	$0, 1, 2$ avec $\dfrac{1}{4}, \dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{4}$	$1$	$\dfrac{1}{2}$
$X$ = résultat d'un dé équilibré	$1$ à $6$ , chacune $\dfrac{1}{6}$	$3{,}5$	$\dfrac{35}{12} \approx 2{,}92$
$Y$ = réussites sur $3$ lancers à $p = 0{,}7$	$0{,}027$ ; $0{,}189$ ; $0{,}441$ ; $0{,}343$	$2{,}1$	$0{,}63$

⚠️ Pièges à éviter

Piège	Correction
Oublier la mise dans le gain net	Gain net $=$ lot $-$ mise ; l'équité se juge sur le gain net
Calculer $E(X^2)$ comme $E(X)^2$	$E(X^2) = \sum x_i^2 p_i$ , puis on soustrait $E(X)^2$
Élever les probabilités au carré	Dans $E(X^2)$ , seules les valeurs sont au carré
Écart type en unité au carré	$\sigma = \sqrt{V}$ a la même unité que $X$
Confondre moyenne d'échantillon et espérance	$m$ est observée et varie d'un échantillon à l'autre ; $\mu = E(X)$ est théorique et fixe
Somme des probabilités $\neq 1$	Signe d'une valeur oubliée ou d'un chemin mal compté

📌 À retenir

Loi = valeurs + probabilités (somme $1$ ).
$E(X) = \sum x_i p_i$ ; linéarité $E(aX + b) = aE(X) + b$ ; jeu équitable $\iff$ $E = 0$ .
$V(X) = E(X^2) - E(X)^2$ ; $\sigma = \sqrt{V}$ mesure le risque.
Moyenne d'échantillon $\approx$ espérance quand $n$ est grand ; $95\,\%$ des moyennes à moins de $\dfrac{2\sigma}{\sqrt{n}}$ de $\mu$ .

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