Variation exponentielle : suites géométriques et fonctions exponentielles

Un capital placé à intérêts composés, une population de bactéries, une rumeur qui se propage, un médicament que le corps élimine, le carbone 14 d'un fossile qui se désintègre : dans tous ces cas, la grandeur est multipliée par le même nombre à chaque étape. Elle augmente ou diminue d'un pourcentage constant, et non d'une quantité constante comme au chapitre précédent. C'est la variation exponentielle.

Quand l'évolution se fait par étapes, on la décrit par une suite géométrique ; quand elle est continue, par une fonction exponentielle $x \mapsto a^x$. Ce chapitre présente les deux modèles, apprend à calculer un taux d'évolution moyen, à résoudre des problèmes de seuil sans formule savante, et à estimer des ordres de grandeur : une croissance exponentielle finit toujours par dépasser toute croissance linéaire, ce qui a des conséquences en économie, en biologie et en épidémiologie.

1. Suites géométriques

1.1 Définition

Une suite $u$ à termes strictement positifs est géométrique lorsqu'on passe de chaque terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre $q > 0$, appelé la raison :

$\boxed{u(n + 1) = q \times u(n)}$

Exemple : un placement à intérêts composés. On place $2\,000$ € à $3\,\%$ par an, les intérêts étant chaque année ajoutés au capital et produisant eux-mêmes des intérêts. Passer d'une année à la suivante, c'est multiplier par $1{,}03$ : $u(0) = 2\,000$, $u(1) = 2\,060$, $u(2) = 2\,121{,}80$, $u(3) = 2\,185{,}45$. Contrairement aux intérêts simples du chapitre précédent ($+60$ € chaque année), les intérêts augmentent d'année en année : $60$, puis $61{,}80$, puis $63{,}65$.

Reconnaître une suite géométrique dans un tableau : on calcule les quotients $\dfrac{u(n + 1)}{u(n)}$ ; s'ils sont tous égaux, la suite est géométrique et ce quotient est la raison.

Quotients : $\dfrac{300}{500} = 0{,}6$, $\dfrac{180}{300} = 0{,}6$, $\dfrac{108}{180} = 0{,}6$. Suite géométrique de premier terme $500$ et de raison $0{,}6$.

1.2 Terme de rang $n$

Partant de $u(0)$, on multiplie par $q$ à chaque étape ; après $n$ étapes, on a multiplié $n$ fois par $q$ :

$\boxed{u(n) = u(0) \times q^n}$

Entre les rangs $p$ et $n$ : $u(n) = u(p) \times q^{n - p}$. Pour le placement, $u(10) = 2\,000 \times 1{,}03^{10} \approx 2\,687{,}83$ € ; à intérêts simples, on n'aurait que $2\,600$ €.

1.3 Taux d'évolution constant

Une évolution de $t\,\%$ à chaque étape se traduit par un coefficient multiplicateur :

Réciproquement, une raison $q$ correspond au taux $t = (q - 1) \times 100$ : $q = 1{,}25$ signifie $+25\,\%$, $q = 0{,}92$ signifie $-8\,\%$.

1.4 Sens de variation

Pour une suite géométrique à termes strictement positifs, $u(n + 1) = q \times u(n)$ donc :

• si $q > 1$, la suite est croissante ;
• si $0 < q < 1$, la suite est décroissante ;
• si $q = 1$, la suite est constante.

Exemple : élimination d'une substance. Un patient reçoit $500$ mg d'un médicament ; chaque heure, le corps en élimine $40\,\%$. La quantité restante suit $v(n + 1) = 0{,}6 \times v(n)$ avec $v(0) = 500$ : suite géométrique décroissante de raison $0{,}6$, $v(n) = 500 \times 0{,}6^n$. Après $3$ heures, il reste $500 \times 0{,}6^3 = 108$ mg.

1.5 Représentation graphique

Les points $(n\,;\,u(n))$ d'une suite géométrique ne sont pas alignés : ils s'écartent de plus en plus vite quand $q > 1$ (la courbe « décolle ») et se rapprochent de l'axe des abscisses sans jamais l'atteindre quand $0 < q < 1$. Ils sont situés sur la courbe de la fonction exponentielle $x \mapsto u(0) \times q^x$ que nous verrons au paragraphe 2.

1.6 Problème de seuil

Question type : au bout de combien d'heures la quantité de médicament passe-t-elle sous $50$ mg ?

On cherche le premier entier $n$ tel que $500 \times 0{,}6^n < 50$. Aucune formule n'est au programme pour isoler $n$ : on utilise un tableau de valeurs (calculatrice ou tableur), le graphique, ou un algorithme.

Le seuil est franchi pour $n = 5$ : après cinq heures, il reste moins de $50$ mg. En Python :

v = 500
n = 0
while v >= 50:
    v = v * 0.6
    n = n + 1
print(n)   # affiche 5

Pour le placement, le même raisonnement donne $2\,000 \times 1{,}03^9 \approx 2\,609{,}55 > 2\,600$ alors que $2\,000 \times 1{,}03^8 \approx 2\,533{,}54 < 2\,600$ : le capital dépasse $2\,600$ € au bout de $9$ ans (contre $10$ ans à intérêts simples).

🎯 Rédiger un seuil exponentiel. Écrire l'inéquation ($500 \times 0{,}6^n < 50$), dire quelle méthode on utilise (tableau, calculatrice, boucle), donner les deux valeurs qui encadrent le seuil ($v(4) = 64{,}8$ et $v(5) = 38{,}9$), conclure avec le rang entier et le contexte. Le correcteur attend l'encadrement, pas seulement la réponse.

2. Fonctions exponentielles

2.1 Des puissances entières aux puissances quelconques

On sait calculer $a^n$ pour $n$ entier : $1{,}03^{10}$ est un produit de dix facteurs. Que vaut le capital après six mois, c'est-à-dire pour $n = 0{,}5$ ? Il faut donner un sens à $a^x$ quand $x$ n'est pas entier.

Racine $n$-ième. Pour $a > 0$, le nombre $a^{1/n}$ est le nombre positif dont la puissance $n$-ième vaut $a$ : $\left(a^{1/n}\right)^n = a$. Ainsi $8^{1/3} = 2$ car $2^3 = 8$, et $1{,}5^{1/5} \approx 1{,}084$ car $1{,}084^5 \approx 1{,}5$. La calculatrice donne $a^x$ pour tout $x \geqslant 0$ avec la touche puissance : $1{,}03^{0{,}5} \approx 1{,}0149$, donc le capital après six mois vaut $2\,000 \times 1{,}03^{0{,}5} \approx 2\,029{,}78$ €.

Pour $a > 0$, la fonction exponentielle de base $a$ est la fonction $f(x) = a^x$ définie pour $x \geqslant 0$. Sa courbe prolonge le nuage de points de la suite géométrique $a^n$ en une courbe continue : on peut ajouter des points intermédiaires, par exemple au milieu de deux rangs, en prenant la moyenne des abscisses et la moyenne géométrique des ordonnées $\sqrt{u(n) \times u(n + 1)}$.

2.2 Propriétés algébriques (admises)

Les règles des puissances entières restent vraies pour tous les exposants positifs :

$a^x \times a^y = a^{x + y} \qquad \frac{a^x}{a^y} = a^{x - y} \qquad \left(a^x\right)^y = a^{xy} \qquad (ab)^x = a^x \times b^x \qquad a^0 = 1$

Elles servent à passer d'une unité de temps à une autre : si un capital est multiplié par $1{,}03$ par an, il est multiplié par $1{,}03^{1/12} \approx 1{,}00247$ par mois, car $\left(1{,}03^{1/12}\right)^{12} = 1{,}03$. C'est le principe du taux mensuel équivalent.

2.3 Variations et courbe

La fonction $x \mapsto a^x$ vérifie $a^0 = 1$ : toutes les courbes passent par $(0\,;\,1)$.

• Si $a > 1$, elle est croissante et sa courbe monte de plus en plus vite.
• Si $0 < a < 1$, elle est décroissante et sa courbe se rapproche de l'axe des abscisses sans l'atteindre.
• Si $a = 1$, elle est constante égale à $1$.

2.4 Suite géométrique et fonction exponentielle

Si $f(x) = u(0) \times a^x$, la suite $u(n) = f(n)$ est géométrique de raison $a$. Comme au chapitre précédent, la suite décrit un phénomène discret (versements annuels, générations successives) et la fonction un phénomène continu (désintégration, croissance d'une bactérie). La fonction permet d'estimer la grandeur à un instant non entier : $f(0{,}5)$, $f(2{,}25)$.

3. Taux d'évolution moyen

Une grandeur subit plusieurs évolutions successives : $+8\,\%$, puis $+12\,\%$, puis $-5\,\%$. Le coefficient multiplicateur global est le produit $1{,}08 \times 1{,}12 \times 0{,}95 \approx 1{,}1491$, soit une hausse globale de $14{,}9\,\%$.

Le taux d'évolution moyen est le taux $t_m$ qui, appliqué trois fois à l'identique, donnerait la même évolution globale : $(1 + t_m)^3 = 1{,}1491$, donc

$1 + t_m = 1{,}1491^{1/3} \approx 1{,}0474 \qquad t_m \approx 4{,}74\,\%$

Ce n'est pas la moyenne des taux, qui donnerait $5\,\%$. Plus généralement, pour $n$ évolutions de coefficient global $CM$ :

$\boxed{1 + t_m = CM^{1/n}}$

Exemple. Le prix d'un loyer a augmenté de $50\,\%$ en $5$ ans. Le taux annuel moyen est $1{,}5^{1/5} - 1 \approx 0{,}0845$, soit environ $8{,}45\,\%$ par an, et non $10\,\%$.

4. Situations

4.1 Demi-vie et datation au carbone 14

La demi-vie d'un noyau radioactif est la durée au bout de laquelle la moitié des noyaux se sont désintégrés. Pour le carbone 14, elle vaut $5\,730$ ans : après $5\,730$ ans il reste $50\,\%$ des noyaux, après $11\,460$ ans $25\,\%$, après $17\,190$ ans $12{,}5\,\%$. La fraction restante après $t$ années est

$N(t) = 0{,}5^{\,t/5730}$

C'est une fonction exponentielle de base $0{,}5$ en la variable $t/5730$, le nombre de demi-vies écoulées. Après $2\,000$ ans, $0{,}5^{2000/5730} \approx 0{,}785$ : il reste $78{,}5\,\%$ du carbone 14. Un organisme vivant renouvelle son carbone 14 ; à sa mort, la fraction diminue. Si un fossile n'en contient plus que $23\,\%$, on cherche $t$ tel que $0{,}5^{\,t/5730} = 0{,}23$ par tableau de valeurs : $t \approx 12\,150$ ans. Au-delà de $50\,000$ ans, il reste moins de $0{,}3\,\%$, trop peu pour mesurer : la méthode a une limite.

4.2 Le taux de reproduction d'un virus

Lors d'une épidémie, le nombre $R_0$ est le nombre moyen de personnes contaminées par un malade. Si chaque génération de malades en contamine $R_0$ fois plus, le nombre de nouveaux cas à la génération $n$ est $c(n) = c(0) \times R_0^{\,n}$, suite géométrique de raison $R_0$.

• $R_0 = 3$ : à partir d'un cas, $3^{10} = 59\,049$ nouveaux cas à la dixième génération. L'épidémie explose.
• $R_0 = 0{,}8$ : à partir de $100$ cas, $100 \times 0{,}8^{10} \approx 11$ cas à la dixième génération. L'épidémie s'éteint.

Faire passer $R_0$ en dessous de $1$ (gestes barrières, vaccination) transforme une suite croissante en suite décroissante : c'est tout l'enjeu.

4.3 Le modèle de Malthus

En $1798$, Malthus compare une population qui croît de façon géométrique ($+3\,\%$ par an) et des ressources alimentaires qui croissent de façon arithmétique ($+40$ unités par an). Avec $P(n) = 1\,000 \times 1{,}03^n$ et $R(n) = 1\,000 + 40n$ :

Les ressources dominent d'abord, mais la population les dépasse à partir de $n = 20$ et l'écart se creuse ensuite. Quelle que soit la raison $q > 1$ et quel que soit l'accroissement linéaire, une croissance exponentielle finit toujours par dépasser une croissance linéaire. Le modèle est trop simple pour prédire l'histoire réelle, mais le mécanisme est fondamental.

4.4 Propagation d'une rumeur, triangle de Sierpinski

Une rumeur : chaque personne informée la transmet à deux nouvelles personnes à chaque étape ; le nombre de nouvelles personnes informées est $2^n$, et $2^{10} = 1\,024$ : dix étapes suffisent pour dépasser mille personnes.

Le triangle de Sierpinski : on part d'un triangle, on retire le triangle central formé par les milieux des côtés, et l'on recommence sur chacun des trois triangles restants. À l'étape $n$, il y a $3^n$ petits triangles et l'aire restante est $\left(\dfrac{3}{4}\right)^n$ de l'aire initiale : le nombre de triangles explose ($3^5 = 243$) tandis que l'aire fond ($0{,}75^5 \approx 0{,}24$).

4.5 Gestion d'une dette

Une dette de $10\,000$ € à $4\,\%$ par an, remboursée à raison de $1\,500$ € par an, suit $D(n + 1) = 1{,}04 \times D(n) - 1\,500$. Ce n'est ni une suite arithmétique ni une suite géométrique, mais un tableur ou une boucle la calcule sans difficulté : $D(1) = 8\,900$, $D(2) = 7\,756$, … et la dette est soldée au bout de $8$ ans. Euler posait déjà ce type de problème au XVIII$^{\text{e}}$ siècle.

5. Ordres de grandeur

Une hausse de $3\,\%$ par an paraît modeste. Pourtant $1{,}03^{24} \approx 2$ : en $24$ ans, la grandeur a doublé ; en $50$ ans elle est multipliée par $4{,}4$ ; en un siècle par $19$. La légende du grain de riz doublé à chaque case d'un échiquier donne $2^{63} \approx 9 \times 10^{18}$ grains sur la dernière case, plus que toutes les récoltes de l'histoire.

Retenir deux repères : doubler tous les $24$ ans à $+3\,\%$ par an (environ $70$ divisé par le taux en $\%$), et une baisse de $50\,\%$ par étape laisse $\dfrac{1}{1\,000}$ environ au bout de dix étapes ($0{,}5^{10} \approx 0{,}001$).

🎯 Reconnaître une variation exponentielle. Mots-clés : « augmente de $3\,\%$ par an », « double tous les », « perd $40\,\%$ chaque heure », « demi-vie », « multiplié par ». Un pourcentage ou un facteur constant à chaque étape signale une suite géométrique ; une quantité constante ajoutée signale une suite arithmétique.

6. Exemple résolu pas à pas

Énoncé. Un patient reçoit une dose de $500$ mg d'un médicament à $8$ h. Chaque heure, l'organisme élimine $40\,\%$ de la quantité présente. On note $v(n)$ la quantité (en mg) présente $n$ heures après l'injection.

a) Justifier que $v$ est géométrique ; donner $v(n)$ en fonction de $n$. b) Quelle quantité reste-t-il à $11$ h ? c) Représenter les premiers termes. d) Le médicament cesse d'agir sous $50$ mg. À quelle heure faudra-t-il une nouvelle injection ? e) Estimer la quantité présente à $8$ h $30$.

a) Éliminer $40\,\%$, c'est garder $60\,\%$ : $v(n + 1) = 0{,}6 \times v(n)$, avec $v(0) = 500$. La suite est géométrique de raison $0{,}6$, décroissante car $0 < 0{,}6 < 1$. $v(n) = 500 \times 0{,}6^n$.

b) À $11$ h, $n = 3$ : $v(3) = 500 \times 0{,}6^3 = 500 \times 0{,}216 = 108$ mg.

c) Les points descendent de plus en plus lentement vers l'axe des abscisses : la courbe de $x \mapsto 500 \times 0{,}6^x$ passe par tous ces points.

d) On cherche le premier $n$ tel que $500 \times 0{,}6^n < 50$. Tableau : $v(4) = 64{,}8 \geqslant 50$ et $v(5) = 38{,}9 < 50$. Le seuil est franchi pour $n = 5$, soit à $13$ h : la nouvelle injection doit avoir lieu vers $13$ h (avant $13$ h pour ne pas passer sous le seuil).

e) À $8$ h $30$, une demi-heure s'est écoulée : $x = 0{,}5$. Avec la fonction exponentielle, $500 \times 0{,}6^{0{,}5} \approx 500 \times 0{,}775 \approx 387$ mg. La suite ne permettait pas ce calcul ; la fonction prolonge le modèle entre deux heures entières.

🎯 Suite ou fonction ? Pour des instants entiers (heures, années), la suite suffit : $v(3)$. Pour un instant intermédiaire, on passe à la fonction exponentielle : $500 \times 0{,}6^{0{,}5}$. Dans les deux cas, on précise l'unité et l'on arrondit raisonnablement.

📌 À retenir

1. Suite géométrique de raison $q > 0$ : $u(n + 1) = q \times u(n)$ et $u(n) = u(0) \times q^n$. On la reconnaît à des quotients constants. Une évolution de $t\,\%$ correspond à $q = 1 \pm \dfrac{t}{100}$.
2. Termes positifs : croissante si $q > 1$, décroissante si $0 < q < 1$. Points sur une courbe exponentielle, jamais alignés.
3. Fonction exponentielle $x \mapsto a^x$ ($a > 0$, $x \geqslant 0$) : prolonge $a^n$ ; $a^{1/n}$ est la racine $n$-ième ; $a^x a^y = a^{x + y}$, $(a^x)^y = a^{xy}$ ; passe par $(0\,;\,1)$ ; croissante si $a > 1$, décroissante si $a < 1$.
4. Taux moyen de $n$ évolutions de coefficient global $CM$ : $1 + t_m = CM^{1/n}$ ; ce n'est pas la moyenne des taux.
5. Seuil : tableau de valeurs, graphique ou boucle while, en donnant les deux valeurs qui encadrent le seuil.
6. Ordres de grandeur : $+3\,\%$ par an double en $24$ ans ; une exponentielle de raison $q > 1$ dépasse toujours une croissance linéaire (Malthus) ; $R_0 < 1$ éteint une épidémie ; demi-vie et carbone 14 : $0{,}5^{\,t/5730}$.