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Variation exponentielle : suites géométriques et fonctions exponentielles

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Fiche de révision

📝 Fiche de révision — Variation exponentielle : suites géométriques et fonctions exponentielles

📖 Vocabulaire

Terme	Définition
Suite géométrique	On multiplie toujours par la même raison $q > 0$ : $u(n + 1) = q \times u(n)$
Coefficient multiplicateur	$q = 1 + \dfrac{t}{100}$ pour une hausse de $t\,\%$ , $q = 1 - \dfrac{t}{100}$ pour une baisse
Fonction exponentielle	$f(x) = a^x$ avec $a > 0$ , définie pour $x \geqslant 0$ ; prolonge la suite $a^n$
Racine $n$ -ième	$a^{1/n}$ : le nombre positif dont la puissance $n$ -ième vaut $a$ ( $8^{1/3} = 2$ )
Taux d'évolution moyen	Le taux constant qui, répété $n$ fois, donne la même évolution globale
Demi-vie	Durée au bout de laquelle une quantité radioactive est divisée par $2$

🔢 Suites géométriques

Ce qu'on cherche	Formule
Terme suivant	$u(n + 1) = q \times u(n)$
Terme de rang $n$ (départ $0$ )	$u(n) = u(0) \times q^n$
Terme de rang $n$ (départ $1$ )	$u(n) = u(1) \times q^{n - 1}$
Entre deux rangs	$u(n) = u(p) \times q^{n - p}$
Taux à partir de $q$	$t = (q - 1) \times 100$ ( $q = 0{,}92 \to -8\,\%$ )

Reconnaître : quotients $\dfrac{u(n + 1)}{u(n)}$ tous égaux. Variations (termes $> 0$ ) : $q > 1$ croissante, $0 < q < 1$ décroissante, $q = 1$ constante.

Graphique : points $(n\,;\,u(n))$ non alignés, sur une courbe exponentielle ; « décolle » si $q > 1$ , s'approche de l'axe sans l'atteindre si $q < 1$ .

Intérêts composés $2\,000$ € à $3\,\%$ : $u(n) = 2\,000 \times 1{,}03^n$ , $u(10) \approx 2\,687{,}83$ €. Médicament éliminé à $40\,\%$ par heure : $v(n) = 500 \times 0{,}6^n$ , $v(3) = 108$ mg.

📈 Fonctions exponentielles $x \mapsto a^x$

$a^0 = 1$ : toutes les courbes passent par $(0\,;\,1)$ .
$a > 1$ : croissante, de plus en plus vite ; $0 < a < 1$ : décroissante vers $0$ .
Propriétés (admises) : $a^x a^y = a^{x + y}$ , $\dfrac{a^x}{a^y} = a^{x - y}$ , $(a^x)^y = a^{xy}$ , $(ab)^x = a^x b^x$ .
Valeur non entière : $2\,000 \times 1{,}03^{0{,}5} \approx 2\,029{,}78$ € après six mois. Taux mensuel équivalent à $3\,\%$ annuel : $1{,}03^{1/12} \approx 1{,}00247$ .
Lien : $u(n) = u(0) a^n = f(n)$ avec $f(x) = u(0) a^x$ ; suite = discret, fonction = continu.

🎯 Taux d'évolution moyen

$CM_{\text{global}} = CM_1 \times CM_2 \times \cdots \times CM_n \qquad 1 + t_m = \left(CM_{\text{global}}\right)^{1/n}$

$+8\,\%$ , $+12\,\%$ , $-5\,\%$ : $1{,}08 \times 1{,}12 \times 0{,}95 \approx 1{,}1491$ , $t_m = 1{,}1491^{1/3} - 1 \approx 4{,}74\,\%$ (et non $5\,\%$ ). $+50\,\%$ en $5$ ans : $1{,}5^{1/5} - 1 \approx 8{,}45\,\%$ par an.

🔍 Problème de seuil (exponentiel)

Pas de formule pour isoler $n$ : tableau de valeurs, graphique ou boucle while v >= 50: v = v * 0.6 ; n = n + 1. Donner les deux valeurs qui encadrent le seuil : $v(4) = 64{,}8$ et $v(5) = 38{,}9$ , donc $n = 5$ .

🌍 Situations

Situation	Modèle	Repère
Intérêts composés	$u(0) \times 1{,}03^n$	dépasse les intérêts simples dès la 2 $^{\text{e}}$ année
Substance éliminée	$500 \times 0{,}6^n$	seuil par tableau
Carbone 14	$N(t) = 0{,}5^{\,t/5730}$	$2\,000$ ans $\to 78{,}5\,\%$ ; $23\,\%$ restant $\to t \approx 12\,150$ ans
Épidémie	$c(n) = c(0) \times R_0^{\,n}$	$R_0 > 1$ explose, $R_0 < 1$ s'éteint
Malthus	$1\,000 \times 1{,}03^n$ contre $1\,000 + 40n$	l'exponentielle dépasse dès $n = 20$
Rumeur, Sierpinski	$2^n$ ; $3^n$ triangles, aire $(3/4)^n$	$2^{10} = 1\,024$
Dette	$D(n + 1) = 1{,}04 D(n) - 1\,500$	ni arithmétique ni géométrique : tableur

Ordres de grandeur : $1{,}03^{24} \approx 2$ (doublement en $24$ ans), $1{,}03^{100} \approx 19$ ; $0{,}5^{10} \approx 0{,}001$ ; $2^{63} \approx 9 \times 10^{18}$ .

⚠️ Pièges à éviter

Piège	Correction
$-40\,\%$ par heure $\to q = 0{,}4$	On garde $60\,\%$ : $q = 0{,}6$
Taux moyen $=$ moyenne des taux	Racine $n$ -ième du coefficient global
$u(n) = u(1) \times q^n$	Depuis le rang $1$ : $q^{n - 1}$
Additionner les intérêts composés	Ils se multiplient : $1{,}03^n$ , pas $1 + 0{,}03n$
Relier les points ou les croire alignés	Courbe exponentielle ; alignés = arithmétique
Répondre à un seuil sans encadrement	Donner $v(4)$ et $v(5)$ , puis le rang et le contexte
Confondre $3\,\%$ par an et $3\,\%$ en tout	$+3\,\%$ par an double en $24$ ans

📌 À retenir

Géométrique $\iff$ quotient constant $q$ ; $u(n) = u(0) q^n$ ; $q = 1 \pm \dfrac{t}{100}$ .
$q > 1$ croissante, $q < 1$ décroissante ; points sur une exponentielle.
$a^x$ prolonge $a^n$ : racine $n$ -ième, propriétés des puissances, courbe par $(0\,;\,1)$ .
Taux moyen : $CM^{1/n} - 1$ .
Seuil : tableau, graphique ou boucle, avec encadrement.
Exponentielle $>$ linéaire à long terme ; $R_0 < 1$ éteint ; demi-vie $0{,}5^{t/T}$ .

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