Variation linéaire : suites arithmétiques et fonctions affines

Un livret qui rapporte les mêmes intérêts chaque année, un réservoir qui se vide à débit constant, une croix de carreaux que l'on agrandit d'un cran à chaque étape, le niveau des océans qui monte de quelques millimètres par an : dans toutes ces situations, la grandeur étudiée augmente ou diminue de la même quantité à chaque étape. C'est la variation linéaire, le modèle d'évolution le plus simple.

Quand l'évolution se fait par étapes (année après année, figure après figure), on la décrit par une suite arithmétique. Quand elle est continue (la température, le temps qui s'écoule), on la décrit par une fonction affine. Ce chapitre présente les deux outils et montre qu'ils racontent la même histoire : un accroissement constant, une droite.

1. Modéliser une évolution par une suite

1.1 Une grandeur qui évolue par étapes

Exemple : un placement à intérêts simples. On place $2\,000$ € sur un livret qui verse chaque année $3\,\%$ du capital initial, soit $60$ €. Le capital vaut $2\,000$ € au départ, $2\,060$ € après un an, $2\,120$ € après deux ans, $2\,180$ € après trois ans.

On note $u(n)$ le capital après $n$ années. La lettre $u$ désigne la suite, c'est-à-dire la liste complète des valeurs ; $u(n)$ est le terme de rang $n$, un seul nombre. Ainsi $u(0) = 2\,000$, $u(1) = 2\,060$, $u(3) = 2\,180$. On rencontre aussi la notation avec un indice, $u_n$, qui signifie exactement la même chose que $u(n)$.

1.2 Deux façons de définir une suite

Par récurrence : on donne le premier terme et la règle de passage d'un terme au suivant.

$u(0) = 2\,000 \qquad u(n + 1) = u(n) + 60$

Cette définition est fidèle à la situation (« chaque année, on ajoute $60$ € »), mais pour connaître $u(20)$ il faut calculer les vingt termes précédents.

Par une formule explicite : on donne directement $u(n)$ en fonction de $n$.

$u(n) = 2\,000 + 60n$

Après $n$ années, on a ajouté $n$ fois $60$ € : $u(20) = 2\,000 + 60 \times 20 = 3\,200$ €, sans passer par les termes intermédiaires. Savoir passer de l'une à l'autre est l'un des objectifs du chapitre.

1.3 Un motif géométrique qui grandit

Exemple : une croix de carreaux. La figure de rang $1$ est un carreau central entouré de quatre carreaux ; à chaque étape, on ajoute un carreau au bout de chacune des quatre branches.

La figure $1$ compte $5$ carreaux, la figure $2$ en compte $9$, la figure $3$ en compte $13$ : à chaque étape on ajoute $4$ carreaux. Si $c(n)$ est le nombre de carreaux de la figure $n$ :

$c(n + 1) = c(n) + 4 \qquad \text{et} \qquad c(n) = 4n + 1$

La formule explicite se lit directement sur la figure : quatre branches de $n$ carreaux, plus le carreau central. Pour la figure $50$, on obtient $201$ carreaux sans dessiner.

2. Suites arithmétiques

2.1 Définition

Une suite $u$ est arithmétique lorsqu'on passe de chaque terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre $r$, appelé la raison :

$\boxed{u(n + 1) = u(n) + r}$

Le capital à intérêts simples est une suite arithmétique de raison $60$, la croix une suite arithmétique de raison $4$. Une raison négative correspond à une diminution : un réservoir de $150$ L qui perd $12$ L par heure donne $v(n + 1) = v(n) - 12$, suite arithmétique de raison $-12$.

Reconnaître une suite arithmétique dans un tableau de valeurs : on calcule les différences entre termes consécutifs ; si elles sont toutes égales, la suite est arithmétique et cette différence est la raison. Si les différences changent, la suite n'est pas arithmétique.

Différences : $3$, $3$, $3$, $3$. Suite arithmétique de premier terme $7$ et de raison $3$.

2.2 Terme de rang $n$

Partant de $u(0)$, on ajoute $r$ à chaque étape ; après $n$ étapes, on a ajouté $n \times r$ :

$\boxed{u(n) = u(0) + n \times r}$

Si la suite commence au rang $1$ : $u(n) = u(1) + (n - 1) \times r$. Plus généralement, entre les rangs $p$ et $n$ il y a $n - p$ étapes : $u(n) = u(p) + (n - p) \times r$.

Exemples. Livret : $u(15) = 2\,000 + 15 \times 60 = 2\,900$ €. Réservoir : $v(n) = 150 - 12n$, donc $v(5) = 90$ L. Suite du tableau : $u(100) = 7 + 100 \times 3 = 307$.

🎯 Compter les étapes, pas les termes. De $u(0)$ à $u(n)$, il y a $n$ ajouts de $r$ ; de $u(1)$ à $u(n)$, il n'y en a que $n - 1$. Beaucoup d'erreurs viennent d'un « $+ r$ » en trop ou en moins : avant d'écrire la formule, repérer le rang du premier terme.

2.3 Sens de variation

Comme $u(n + 1) - u(n) = r$ pour tout $n$ :

• si $r > 0$, la suite est croissante (chaque terme dépasse le précédent) ;
• si $r < 0$, la suite est décroissante ;
• si $r = 0$, la suite est constante.

Le signe de la raison suffit. Le livret est croissant, le réservoir décroissant.

2.4 Représentation graphique

Une suite se représente par les points de coordonnées $(n\,;\,u(n))$, que l'on ne relie pas puisque $n$ ne prend que des valeurs entières. Pour une suite arithmétique, ces points sont alignés sur la droite d'équation $y = u(0) + r x$ : la raison $r$ est la pente de cette droite. Plus $|r|$ est grand, plus les points montent ou descendent vite.

Lire un graphique : le premier point donne $u(0)$, et la raison se lit comme la variation d'ordonnée d'un point au suivant (ou sur plusieurs points, en divisant par le nombre d'étapes).

2.5 Problème de seuil

Question type : au bout de combien d'années le capital du livret dépasse-t-il $2\,600$ € ?

Par le calcul. On résout $2\,000 + 60n \geqslant 2\,600$, soit $60n \geqslant 600$, soit $n \geqslant 10$. Le seuil est atteint à partir de $n = 10$, donc après dix ans.

Par un tableau ou un graphique. On lit le premier rang dont le terme dépasse $2\,600$ : $u(9) = 2\,540 < 2\,600$ et $u(10) = 2\,600$. Sur le graphique, on trace la droite horizontale $y = 2\,600$ et l'on cherche le premier point au-dessus ou dessus.

Par un algorithme. On avance de rang en rang tant que le seuil n'est pas atteint :

u = 2000
n = 0
while u < 2600:
    u = u + 60
    n = n + 1
print(n)   # affiche 10

Les trois méthodes doivent donner le même résultat. Si l'inéquation donne un nombre non entier ($n \geqslant 8{,}67$ par exemple), on prend le rang entier suivant ($n = 9$).

3. Fonctions affines

3.1 Rappels de seconde

Une fonction affine est de la forme $f(x) = mx + p$ ; sa courbe est une droite, $m$ est le coefficient directeur et $p$ l'ordonnée à l'origine ($f(0) = p$).

Le coefficient directeur mesure l'accroissement de $f$ quand $x$ augmente de $1$. Plus généralement, pour deux valeurs $a \neq b$ :

$\boxed{m = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}}$

Ce quotient s'appelle le taux d'accroissement ; pour une fonction affine, il ne dépend pas des valeurs $a$ et $b$ choisies. C'est exactement ce que dit « variation linéaire » : un accroissement constant.

• Si $m > 0$, $f$ est croissante ; si $m < 0$, $f$ est décroissante ; si $m = 0$, $f$ est constante.

Exemple : degrés Celsius et Fahrenheit. La température $F$ en degrés Fahrenheit est une fonction affine de la température $C$ en degrés Celsius : $F = 1{,}8\,C + 32$. L'eau gèle à $0$ °C soit $32$ °F, et bout à $100$ °C soit $212$ °F ; le coefficient directeur $\dfrac{212 - 32}{100 - 0} = 1{,}8$ signifie qu'un degré Celsius de plus fait $1{,}8$ degré Fahrenheit de plus. Une fièvre de $39$ °C correspond à $1{,}8 \times 39 + 32 = 102{,}2$ °F. Dans l'autre sens, $100$ °F correspond à $C = \dfrac{100 - 32}{1{,}8} \approx 37{,}8$ °C. Curiosité : les deux échelles coïncident pour $C = 1{,}8\,C + 32$, soit $C = -40$.

3.2 Suite arithmétique et fonction affine

Si $f(x) = mx + p$ est affine, la suite $u(n) = f(n)$ est arithmétique de premier terme $p$ et de raison $m$. Réciproquement, les termes d'une suite arithmétique sont les valeurs aux entiers d'une fonction affine. La différence est dans la nature du phénomène :

Un capital versé une fois par an est discret : parler du capital « après $2{,}5$ ans » n'a pas de sens sur ce livret. La conversion de températures est continue : toutes les valeurs de $C$ sont possibles.

3.3 Offre et demande

En économie, la demande d'un produit diminue quand son prix augmente, tandis que l'offre des producteurs augmente. Avec des modèles affines, par exemple $D(p) = 120 - 4p$ et $O(p) = 20 + 6p$ (quantités en milliers d'unités, prix $p$ en euros), le prix d'équilibre est celui pour lequel offre et demande sont égales :

$120 - 4p = 20 + 6p \iff 100 = 10p \iff p = 10$

Au prix de $10$ €, il s'échange $D(10) = O(10) = 80$ milliers d'unités. Graphiquement, c'est l'intersection des deux droites. En dessous de ce prix, la demande dépasse l'offre (pénurie) ; au-dessus, l'offre dépasse la demande (invendus).

3.4 Le barème de l'impôt : une fonction affine par morceaux

L'impôt sur le revenu se calcule par tranches. Barème pour une part, revenus de $2024$ (arrondi) :

Chaque taux ne s'applique qu'à la partie du revenu située dans sa tranche. Pour un revenu de $30\,000$ € :

$I = 0 \times 11\,497 + 0{,}11 \times (29\,315 - 11\,497) + 0{,}30 \times (30\,000 - 29\,315) = 1\,960 + 205{,}5 \approx 2\,165 \text{ €}$

Le taux marginal est le taux de la dernière tranche atteinte, ici $30\,\%$ : c'est le taux auquel serait imposé un euro de revenu supplémentaire. Le taux moyen est $\dfrac{I}{R} = \dfrac{2\,165}{30\,000} \approx 7{,}2\,\%$ : c'est la part du revenu réellement payée. Les deux ne doivent pas être confondus : passer dans la tranche à $30\,\%$ ne signifie pas payer $30\,\%$ de tout son revenu.

Sur chaque tranche, l'impôt est une fonction affine du revenu, de coefficient directeur le taux marginal : sur la tranche à $30\,\%$, $I(R) = 0{,}30\,R - 6\,834{,}5$. La fonction complète est affine par morceaux : sa courbe est une ligne brisée, continue, dont la pente augmente de tranche en tranche.

3.5 Le niveau moyen des océans

Depuis $1993$, les satellites mesurent une hausse du niveau moyen des océans d'environ $3{,}4$ mm par an. Un modèle linéaire donne l'élévation $N(t) = 3{,}4\,t$ en millimètres, $t$ étant le nombre d'années écoulées depuis $1993$. Pour $2050$, $t = 57$ et $N(57) \approx 194$ mm, soit près de $20$ cm. Comme au chapitre précédent, c'est une extrapolation : les mesures récentes montrent que la hausse s'accélère, et le modèle linéaire est probablement une estimation basse.

🎯 Reconnaître une variation linéaire dans un énoncé. Les mots-clés : « augmente de $60$ € chaque année », « perd $12$ L par heure », « $3{,}4$ mm par an », « on ajoute $4$ carreaux à chaque étape ». Une quantité fixe ajoutée ou retirée à chaque étape signale une suite arithmétique ou une fonction affine. Au contraire, « augmente de $3\,\%$ chaque année » (un pourcentage) annonce le chapitre sur la variation exponentielle.

4. Exemple résolu pas à pas

Énoncé. En $2024$, une ville consacre $1{,}2$ million d'euros à ses pistes cyclables et décide d'augmenter ce budget de $150\,000$ € chaque année. On note $b(n)$ le budget, en millions d'euros, de l'année $2024 + n$.

a) Justifier que la suite $b$ est arithmétique et donner $b(n)$ en fonction de $n$. b) Calculer le budget prévu en $2030$. c) Représenter graphiquement les premiers termes. d) À partir de quelle année le budget dépassera-t-il $2{,}5$ millions d'euros ? e) En quelle année le budget aura-t-il doublé ?

a) Chaque année, on ajoute la même somme, $0{,}15$ million : $b(n + 1) = b(n) + 0{,}15$. La suite est arithmétique de premier terme $b(0) = 1{,}2$ et de raison $0{,}15$. Donc $b(n) = 1{,}2 + 0{,}15n$.

b) $2030 = 2024 + 6$, donc $n = 6$ : $b(6) = 1{,}2 + 0{,}15 \times 6 = 2{,}1$. Le budget prévu est de $2{,}1$ millions d'euros.

c) Les points $(n\,;\,b(n))$ sont alignés sur la droite $y = 1{,}2 + 0{,}15x$.

d) On résout $1{,}2 + 0{,}15n > 2{,}5$, soit $0{,}15n > 1{,}3$, soit $n > \dfrac{1{,}3}{0{,}15} \approx 8{,}67$. Comme $n$ est entier, le premier rang qui convient est $n = 9$ : le budget dépassera $2{,}5$ millions en $2024 + 9 = 2033$. Vérification : $b(8) = 2{,}4 < 2{,}5$ et $b(9) = 2{,}55 > 2{,}5$.

e) Le budget aura doublé quand $b(n) = 2{,}4$ : $0{,}15n = 1{,}2$, soit $n = 8$, c'est-à-dire en $2032$.

🎯 Trois réflexes pour un problème de seuil. Écrire l'inéquation avec la formule explicite ; résoudre en isolant $n$ ; conclure avec un rang entier (le premier qui convient) traduit en année, et vérifier avec les deux termes qui encadrent le seuil.

📌 À retenir

1. Une suite $u$ est une liste de nombres ; $u(n)$ (ou $u_n$) est son terme de rang $n$. Elle se définit par récurrence ($u(0)$ et $u(n + 1) = \ldots$) ou par une formule explicite ($u(n) = \ldots$).
2. Suite arithmétique de raison $r$ : $u(n + 1) = u(n) + r$ et $u(n) = u(0) + n \times r$. On la reconnaît à des différences constantes. Croissante si $r > 0$, décroissante si $r < 0$.
3. Ses points $(n\,;\,u(n))$ sont alignés ; la raison est la pente. Discret : points, continu : droite.
4. Fonction affine $f(x) = mx + p$ : le coefficient directeur $m = \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}$ est le taux d'accroissement, constant ; $p = f(0)$.
5. Seuil : inéquation avec la formule explicite, rang entier suivant, retour au contexte ; ou tableau, graphique, boucle while.
6. Situations : intérêts simples, motifs, Celsius-Fahrenheit, équilibre offre-demande (intersection de deux droites), impôt par tranches (affine par morceaux, taux marginal $\neq$ taux moyen), niveau des océans.