📐 Maths (enseignement scientifique)1ereFiche de révision

Variation linéaire : suites arithmétiques et fonctions affines

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Fiche de révision

📝 Fiche de révision — Variation linéaire : suites arithmétiques et fonctions affines

📖 Vocabulaire

Terme	Définition
Suite $u$	Liste de nombres rangés par rang ; $u(n)$ ou $u_n$ est le terme de rang $n$
Définition par récurrence	Premier terme + règle de passage : $u(0) = 2\,000$ , $u(n + 1) = u(n) + 60$
Formule explicite	$u(n)$ directement en fonction de $n$ : $u(n) = 2\,000 + 60n$
Suite arithmétique	On ajoute toujours la même raison $r$ : $u(n + 1) = u(n) + r$
Fonction affine	$f(x) = mx + p$ ; $m$ coefficient directeur, $p$ ordonnée à l'origine
Taux d'accroissement	$\dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}$ , égal à $m$ pour une fonction affine
Discret / continu	Par étapes (années, figures) : suite ; toutes les valeurs possibles : fonction

🔢 Suites arithmétiques

Ce qu'on cherche	Formule
Terme suivant	$u(n + 1) = u(n) + r$
Terme de rang $n$ (départ $0$ )	$u(n) = u(0) + n \times r$
Terme de rang $n$ (départ $1$ )	$u(n) = u(1) + (n - 1) \times r$
Entre deux rangs	$u(n) = u(p) + (n - p) \times r$
Raison à partir de deux termes	$r = \dfrac{u(n) - u(p)}{n - p}$

Reconnaître : différences $u(n + 1) - u(n)$ toutes égales. Sens de variation : $r > 0$ croissante, $r < 0$ décroissante, $r = 0$ constante.

Graphique : points $(n\,;\,u(n))$ non reliés, alignés sur la droite $y = u(0) + rx$ ; $r$ est la pente. Lecture : $u(0)$ = premier point, $r$ = variation d'un point au suivant.

📈 Fonctions affines

$f(x) = mx + p$ , droite de pente $m$ passant par $(0\,;\,p)$ .
$m = \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}$ : accroissement de $f$ quand $x$ augmente de $1$ .
$m > 0$ croissante, $m < 0$ décroissante.
Lien : $u(n) = f(n)$ est arithmétique de raison $m$ et de premier terme $p$ .

Celsius-Fahrenheit : $F = 1{,}8\,C + 32$ ; $0$ °C $= 32$ °F, $100$ °C $= 212$ °F ; $C = \dfrac{F - 32}{1{,}8}$ .

Offre et demande : demande décroissante, offre croissante ; prix d'équilibre = solution de $D(p) = O(p)$ (intersection des droites). $D(p) = 120 - 4p$ , $O(p) = 20 + 6p$ : $p = 10$ , quantité $80$ .

Impôt par tranches : fonction affine par morceaux, chaque taux s'applique à la partie du revenu dans sa tranche. Taux marginal = taux de la dernière tranche atteinte ; taux moyen $= \dfrac{\text{impôt}}{\text{revenu}}$ , toujours plus petit. $R = 30\,000$ € : $I = 0{,}11 \times 17\,818 + 0{,}30 \times 685 \approx 2\,165$ €, marginal $30\,\%$ , moyen $7{,}2\,\%$ .

🎯 Problème de seuil (croissance linéaire)

Méthode	Comment
Calcul	Inéquation $u(0) + nr \geqslant s$ , isoler $n$ , prendre le rang entier suivant
Tableau	Premier rang où le terme dépasse $s$
Graphique	Droite horizontale $y = s$ , premier point au-dessus
Algorithme	`while u < s: u = u + r ; n = n + 1`

Livret $2\,000 + 60n \geqslant 2\,600$ : $n \geqslant 10$ . Budget $1{,}2 + 0{,}15n > 2{,}5$ : $n > 8{,}67$ donc $n = 9$ . Toujours revenir à l'année et vérifier avec les deux termes qui encadrent le seuil.

⚠️ Pièges à éviter

Piège	Correction
$u(n) = u(1) + n \times r$	Depuis le rang $1$ , il n'y a que $n - 1$ étapes
Confondre $u$ et $u(n)$	$u$ est la suite, $u(n)$ un nombre
Relier les points d'une suite	Phénomène discret : points isolés ; la droite sert seulement de guide
« Augmente de $3\,\%$ par an » = arithmétique	Non : c'est un pourcentage, donc géométrique (chapitre suivant)
Répondre $n \geqslant 8{,}67$ à un seuil	Rang entier suivant $n = 9$ , puis l'année
Taux marginal $=$ taux moyen	Le taux marginal ne s'applique qu'à la dernière tranche
$F = C + 32$	Le coefficient directeur est $1{,}8$ , pas $1$

📌 À retenir

Arithmétique $\iff$ on ajoute la même raison $r$ ; $u(n) = u(0) + nr$ .
Différences constantes pour reconnaître, signe de $r$ pour les variations, points alignés pour le graphique.
Fonction affine : $m$ = taux d'accroissement constant, $p = f(0)$ ; même modèle pour un phénomène continu.
Seuil : inéquation, rang entier suivant, retour au contexte.
Équilibre offre-demande : intersection de deux droites ; impôt : affine par morceaux, marginal $\neq$ moyen.

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