Variations et Extremums des Fonctions

1. Croissance et décroissance

1.1 Définitions

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$.

$f$ est croissante sur $I$ si, pour tous $a, b \in I$ :

$a < b \implies f(a) \leqslant f(b)$

$f$ est strictement croissante sur $I$ si :

$a < b \implies f(a) < f(b)$

$f$ est décroissante sur $I$ si, pour tous $a, b \in I$ :

$a < b \implies f(a) \geqslant f(b)$

$f$ est strictement décroissante sur $I$ si :

$a < b \implies f(a) > f(b)$

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🎯 En résumé :

• Croissante = « quand $x$ augmente, $f(x)$ augmente (ou reste stable) »
• Décroissante = « quand $x$ augmente, $f(x)$ diminue (ou reste stable) »

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1.2 Monotonie

Une fonction est monotone sur un intervalle si elle est croissante sur tout l'intervalle, ou décroissante sur tout l'intervalle (elle ne change pas de sens de variation).

Exemple : La fonction cube $f(x) = x^3$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ → elle est monotone.

La fonction carré $f(x) = x^2$ n'est pas monotone sur $\mathbb{R}$ (elle décroît puis croît).

2. Tableau de variations

2.1 Construction

Le tableau de variations résume le sens de variation d'une fonction sur tout son domaine de définition.

Convention :

• $\nearrow$ indique que $f$ est croissante
• $\searrow$ indique que $f$ est décroissante
• Les valeurs remarquables de $f$ sont indiquées en haut ou en bas des flèches

Exemple — Fonction carré $f(x) = x^2$ :

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2.2 Lire un tableau de variations

À partir d'un tableau de variations, on peut :

• Comparer des images : si $f$ est croissante sur un intervalle et $a < b$ dans cet intervalle, alors $f(a) < f(b)$.
• Déterminer les extremums (voir section 3).
• Savoir si une équation $f(x) = k$ admet des solutions sur un intervalle.

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⚠️ Attention : on ne peut comparer $f(a)$ et $f(b)$ par les variations que si $a$ et $b$ sont dans le même intervalle de monotonie. Si $a$ et $b$ sont de part et d'autre d'un changement de variation, il faut calculer.

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2.3 Relier courbe et tableau de variations

De la courbe au tableau : on lit les intervalles où la courbe « monte » (croissante) et « descend » (décroissante), et on note les sommets/creux.

Du tableau à la courbe : on place les points remarquables et on trace une courbe qui respecte les variations indiquées.

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3. Extremums

3.1 Définitions

Soit $f$ définie sur un intervalle $I$ et $c \in I$.

$f$ admet un maximum en $c$ sur $I$ si : pour tout $x \in I$, $f(x) \leqslant f(c)$.

$f$ admet un minimum en $c$ sur $I$ si : pour tout $x \in I$, $f(x) \geqslant f(c)$.

Un extremum est un maximum ou un minimum.

Exemple : La fonction carré $f(x) = x^2$ admet un minimum en $x = 0$ sur $\mathbb{R}$, qui vaut $f(0) = 0$.

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3.2 Déterminer graphiquement les extremums

Sur la courbe, un maximum local correspond à un « sommet » (la courbe monte puis redescend).

Un minimum local correspond à un « creux » (la courbe descend puis remonte).

Lecture sur le tableau de variations : un extremum se trouve là où le sens de variation change.

• Passage $\nearrow$ puis $\searrow$ → maximum
• Passage $\searrow$ puis $\nearrow$ → minimum

4. Variations des fonctions de référence

4.1 Fonction affine $f(x) = mx + p$

Le coefficient directeur $m$ est le taux d'accroissement :

$m = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} \quad \text{pour tous } x_1 \neq x_2$

• $m > 0$ → $f$ strictement croissante sur $\mathbb{R}$
• $m < 0$ → $f$ strictement décroissante sur $\mathbb{R}$
• $m = 0$ → $f$ constante

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4.2 Récapitulatif des fonctions de référence

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5. Exploiter les variations pour résoudre des problèmes

5.1 Comparer des images

Exemple : Soit $f(x) = x^2$. Comparer $f(2{,}5)$ et $f(3)$.

Comme $0 < 2{,}5 < 3$ et $f$ est croissante sur $[0\,;\,+\infty[$ :

$f(2{,}5) < f(3) \quad \text{soit} \quad 6{,}25 < 9$

Exemple : Comparer $f(-4)$ et $f(-1)$ avec $f(x) = x^2$.

Comme $-4 < -1 < 0$ et $f$ est décroissante sur $]-\infty\,;\,0]$ :

$f(-4) > f(-1) \quad \text{soit} \quad 16 > 1$

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5.2 Utiliser un logiciel pour décrire les variations

Avec un logiciel de calcul (calculatrice, GeoGebra, Python…), on peut :

• Tracer la courbe d'une fonction donnée par une formule
• Conjecturer les intervalles de croissance/décroissance
• Estimer les extremums (abscisse et ordonnée)

Exemple : Pour $f(x) = x^3 - 3x + 1$, le tracé sur GeoGebra montre un maximum local autour de $x = -1$ et un minimum local autour de $x = 1$.

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📌 À retenir

1. $f$ croissante sur $I$ : $a < b \implies f(a) \leqslant f(b)$ — la courbe « monte ».
2. $f$ décroissante sur $I$ : $a < b \implies f(a) \geqslant f(b)$ — la courbe « descend ».
3. Le tableau de variations résume les intervalles de croissance/décroissance et les valeurs remarquables.
4. Un extremum se situe là où le sens de variation change ($\nearrow \searrow$ = max, $\searrow \nearrow$ = min).
5. Pour comparer $f(a)$ et $f(b)$, $a$ et $b$ doivent être dans le même intervalle de monotonie.
6. Le coefficient directeur d'une fonction affine est son taux d'accroissement constant.