Manipuler les Vecteurs du Plan

1. Notion de vecteur

1.1 Translation et vecteur

Le vecteur $\vec{AB}$ est associé à la translation qui transforme le point $A$ en le point $B$.

Un vecteur est caractérisé par trois éléments :

• sa direction (la droite sur laquelle il « glisse »)
• son sens (de $A$ vers $B$, pas l'inverse)
• sa norme (sa longueur), notée $\|\vec{AB}\|$ ou $AB$

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📏 Représentation : un vecteur se dessine par une flèche allant du point de départ au point d'arrivée.

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1.2 Égalité de deux vecteurs

Deux vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{CD}$ sont égaux si et seulement s'ils ont même direction, même sens et même norme.

Géométriquement : $\vec{AB} = \vec{CD}$ si et seulement si $ABDC$ est un parallélogramme (éventuellement aplati).

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1.3 Vecteur nul

Le vecteur nul $\vec{0}$ (ou $\vec{AA}$ pour tout point $A$) a une norme nulle. Il n'a ni direction ni sens.

$\vec{AA} = \vec{0} \quad \text{pour tout point } A$

2. Opérations sur les vecteurs

2.1 Somme de deux vecteurs

La somme $\vec{u} + \vec{v}$ correspond à l'enchaînement de deux translations.

Constructions :

Règle du bout à bout (relation de Chasles) : on place $\vec{v}$ à la suite de $\vec{u}$.

Règle du parallélogramme : si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ partent du même point, leur somme est la diagonale du parallélogramme.

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2.2 Relation de Chasles

Pour tous points $A$, $B$, $C$ :

$\boxed{\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}}$

C'est la formule la plus utilisée pour simplifier les sommes de vecteurs : on « enchaîne » les translations.

Conséquence : $\vec{AB} + \vec{BA} = \vec{AA} = \vec{0}$, donc $\vec{BA} = -\vec{AB}$.

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2.3 Produit d'un vecteur par un réel

Pour un vecteur $\vec{u}$ et un réel $k$ :

$k\vec{u}$ est le vecteur de même direction que $\vec{u}$, de norme $|k| \times \|\vec{u}\|$, et :

• de même sens que $\vec{u}$ si $k > 0$
• de sens opposé si $k < 0$

Exemples :

• $2\vec{u}$ → même direction, même sens, norme doublée
• $-\vec{u}$ → même direction, sens opposé, même norme
• $\frac{1}{2}\vec{u}$ → même direction, même sens, norme divisée par $2$

3. Coordonnées de vecteurs

3.1 Base orthonormée et repère

Un repère orthonormé $(O\,;\,\vec{i}\,,\,\vec{j})$ est constitué d'un point $O$ (origine) et de deux vecteurs $\vec{i}$ et $\vec{j}$ orthogonaux et de norme $1$.

Tout point $M$ du plan a des coordonnées $(x\,;\,y)$ telles que $\vec{OM} = x\vec{i} + y\vec{j}$.

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3.2 Coordonnées d'un vecteur

Un vecteur $\vec{u}$ a des coordonnées $\vec{u}\binom{x}{y}$ signifiant $\vec{u} = x\vec{i} + y\vec{j}$.

Si $A(x_A\,;\,y_A)$ et $B(x_B\,;\,y_B)$, alors :

$\boxed{\vec{AB}\binom{x_B - x_A}{y_B - y_A}}$

Exemple : $A(1\,;\,3)$ et $B(4\,;\,-1)$. Alors $\vec{AB}\binom{4-1}{-1-3} = \binom{3}{-4}$.

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3.3 Opérations en coordonnées

Si $\vec{u}\binom{x}{y}$ et $\vec{v}\binom{x'}{y'}$ :

$\vec{u} + \vec{v}\binom{x + x'}{y + y'} \qquad k\vec{u}\binom{kx}{ky}$

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3.4 Norme d'un vecteur

$\boxed{\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2}}$

Exemple : $\vec{u}\binom{3}{-4}$ → $\|\vec{u}\| = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.

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3.5 Distance entre deux points

$\boxed{AB = \|\vec{AB}\| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}}$

Exemple : $A(1\,;\,2)$ et $B(4\,;\,6)$. $AB = \sqrt{(4-1)^2 + (6-2)^2} = \sqrt{9 + 16} = 5$.

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3.6 Coordonnées du milieu d'un segment

Le milieu $I$ du segment $[AB]$ a pour coordonnées :

$\boxed{I\left(\frac{x_A + x_B}{2}\,;\,\frac{y_A + y_B}{2}\right)}$

Exemple : $A(2\,;\,5)$ et $B(6\,;\,1)$ → $I\left(\frac{2+6}{2}\,;\,\frac{5+1}{2}\right) = I(4\,;\,3)$.

4. Colinéarité

4.1 Définition

Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires s'il existe un réel $k$ tel que $\vec{v} = k\vec{u}$ (ou $\vec{u} = \vec{0}$).

Géométriquement : $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires s'ils ont la même direction (parallèles).

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4.2 Déterminant de deux vecteurs

Si $\vec{u}\binom{x}{y}$ et $\vec{v}\binom{x'}{y'}$, le déterminant de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ est :

$\boxed{\det(\vec{u}, \vec{v}) = xy' - yx'}$

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4.3 Critère de colinéarité

$\vec{u} \text{ et } \vec{v} \text{ sont colinéaires} \iff \det(\vec{u}, \vec{v}) = 0 \iff xy' - yx' = 0$

Exemple : $\vec{u}\binom{2}{3}$ et $\vec{v}\binom{4}{6}$.

$\det(\vec{u}, \vec{v}) = 2 \times 6 - 3 \times 4 = 12 - 12 = 0$ → colinéaires ✔️

(En effet, $\vec{v} = 2\vec{u}$.)

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4.4 Applications de la colinéarité

Alignement de trois points : $A$, $B$, $C$ sont alignés si et seulement si $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ sont colinéaires.

Parallélisme de deux droites : les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles si et seulement si $\vec{AB}$ et $\vec{CD}$ sont colinéaires.

Exemple résolu : Les points $A(1\,;\,2)$, $B(3\,;\,5)$ et $C(7\,;\,11)$ sont-ils alignés ?

$\vec{AB}\binom{2}{3}$ et $\vec{AC}\binom{6}{9}$.

$\det(\vec{AB}, \vec{AC}) = 2 \times 9 - 3 \times 6 = 18 - 18 = 0$ → alignés ✔️

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📌 À retenir

1. Un vecteur a une direction, un sens et une norme.
2. Relation de Chasles : $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$.
3. Coordonnées : $\vec{AB}\binom{x_B - x_A}{y_B - y_A}$.
4. Norme : $\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2}$.
5. Milieu : $I\left(\frac{x_A + x_B}{2}\,;\,\frac{y_A + y_B}{2}\right)$.
6. Colinéarité : $\det(\vec{u}, \vec{v}) = xy' - yx' = 0$ → même direction, alignement, parallélisme.