Manipuler les vecteurs du plan

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Fiche de révision

Terme	Définition
Vecteur $\vec{AB}$	Caractérisé par une direction, un sens (de A vers B) et une norme (longueur AB)
Norme	Longueur du vecteur, notée $\\|\vec{AB}\\|$
Vecteur nul	$\vec{AA} = \vec{0}$ : norme nulle, ni direction ni sens
Égalité de vecteurs	$\vec{AB} = \vec{CD}$ si même direction, même sens, même norme (ABDC est un parallélogramme)
Colinéarité	Deux vecteurs sont colinéaires s'ils ont la même direction (ou si l'un est nul)
Base orthonormée	Deux vecteurs $(\vec{i},\vec{j})$ perpendiculaires et de norme 1

Objet	Formule
Coordonnées de $\vec{AB}$	Si $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$ : $\vec{AB}\begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix}$
Norme	$\\|\vec{AB}\\| = \sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$
Somme	Si $\vec{u}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}$ alors $\vec{u}+\vec{v}\begin{pmatrix}x+x'\\y+y'\end{pmatrix}$
Produit par un réel	$k\vec{u}\begin{pmatrix}kx\\ky\end{pmatrix}$
Relation de Chasles	$\vec{AB}+\vec{BC}=\vec{AC}$
Milieu $I$ de $[AB]$	$I\left(\dfrac{x_A+x_B}{2};\dfrac{y_A+y_B}{2}\right)$
Déterminant	$\det(\vec{u},\vec{v}) = xy'-x'y$
Critère de colinéarité	$\vec{u}$ et $\vec{v}$ colinéaires $\iff \det(\vec{u},\vec{v})=0$ $\iff xy'-x'y=0$

Montrer que des points sont alignés (A, B, C) :

Montrer que deux droites sont parallèles (AB) et (CD) :

Calculer $\vec{AB}$ et $\vec{CD}$
Si $\det(\vec{AB},\vec{CD})=0$ → vecteurs colinéaires → (AB) // (CD) (ou confondues)

Montrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme :

Construire $\vec{u}+\vec{v}$ géométriquement :

Piège	Correction
Confondre $\vec{AB}$ et $\vec{BA}$	$\vec{BA} = -\vec{AB}$ (sens opposé !)
Coordonnées de $\vec{AB}$ : faire $A - B$	C'est toujours arrivée − départ : $B - A$
Oublier la racine dans la norme	Distance = $\sqrt{...}$ , ne pas laisser le carré
$\vec{AB}=\vec{CD}$ → ABCD parallélogramme	Non ! C'est ABDC le parallélogramme
Déterminant : se tromper dans l'ordre	$\det = xy' - x'y$ (« diagonale principale − diagonale secondaire »)

Relation de Chasles : le point intermédiaire « s'annule » → $\vec{AB}+\vec{BC}=\vec{AC}$
Coordonnées de $\vec{AB}$ = arrivée − départ
Déterminant nul = colinéarité = alignement ou parallélisme
$k\vec{u}$ : même direction ; même sens si $k>0$ , sens contraire si $k<0$
Deux vecteurs égaux ↔ même couple de coordonnées

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