📝 Fiche de révision — Nombres flottants et valeurs booléennes

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🔢 Réels en binaire

• Après la virgule : poids $2^{-1} = 0{,}5$, $2^{-2} = 0{,}25$, $2^{-3} = 0{,}125$, $2^{-4} = 0{,}0625$.
• $\overline{110{,}101}^{\,2} = 4 + 2 + 0{,}5 + 0{,}125 = 6{,}625$.
• Conversion : multiplier par $2$, noter la partie entière, recommencer avec le reste : $0{,}25 \to 0{,}5 \to 1{,}0$ : $\overline{0{,}01}^{\,2}$ (fini).
• Infinis : $0{,}1 = \overline{0{,}0\,0011\,0011\ldots}^{\,2}$, $0{,}2$, $0{,}3$, $1/3 = \overline{0{,}0101\ldots}^{\,2}$ (comme $1/3 = 0{,}333\ldots$ en base $10$).

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💾 Le flottant

• $x = \pm\,1{,}m \times 2^e$ : signe ($1$ bit), exposant ($11$ bits), mantisse ($52$ bits) sur $64$ bits (norme IEEE 754, détails non exigibles).
• Mantisse tronquée → approximation, environ $16$ chiffres significatifs : 0.1 est stocké comme $0{,}1000000000000000055\ldots$
• 0.1 + 0.2 donne 0.30000000000000004 ; 0.1 + 0.2 == 0.3 vaut False.
• Règle : jamais a == b sur des flottants ; abs(a - b) < 1e-9 ou math.isclose(a, b) ; argent → entiers (centimes).
• Exacts : entiers, $0{,}5$, $0{,}25$, $0{,}75$, $5{,}375$…

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✅ Booléens

• not a inverse ; priorités not > and > or ; parenthèses au moindre doute.
• xor : vrai si $a \neq b$ (a != b).
• Table d'une expression : $2^n$ lignes (ordre binaire), une colonne par sous-expression ; même table = expressions équivalentes.
• De Morgan : not (a and b) = not a or not b ; not (a or b) = not a and not b.

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⏩ Évaluation séquentielle

• a and b : si a faux, b n'est pas évalué ; a or b : si a vrai, b n'est pas évalué.
• Protéger : i < len(t) and t[i] == 0 ; y != 0 and x / y > 2 (l'ordre compte).

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➕ Addition de deux bits

• somme = a xor b, retenue = a and b (demi-additionneur) ; $1 + 1 = \overline{10}^{\,2}$.

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⚠️ Pièges à éviter

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📌 À retenir

1. Multiplications par 2 ; fini ou infini.
2. Flottant approché, pas d'égalité.
3. Tables and/or/xor/not, De Morgan.
4. Évaluation en court-circuit.
5. xor = somme, and = retenue.