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Probabilités conditionnelles et indépendance

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Fiche de révision

📝 Fiche de révision — Probabilités conditionnelles et indépendance

📖 Définitions clés

Terme	Définition
Probabilité conditionnelle $P_A(B)$	Probabilité de $B$ sachant que $A$ est réalisé : $P_A(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}$ (avec $P(A) \neq 0$ )
Partition de $\Omega$ (système complet)	Évènements deux à deux incompatibles dont la réunion est $\Omega$ ; exemple : $A$ et $\bar{A}$
Évènements indépendants	$P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$ , c'est-à-dire $P_A(B) = P(B)$ : savoir $A$ ne change pas la probabilité de $B$
Épreuve de Bernoulli	Expérience à deux issues : succès (probabilité $p$ ) ou échec (probabilité $1 - p$ )
Répétition d'épreuves	$n$ épreuves identiques et indépendantes ; arbre à $2^n$ chemins
Méthode de Monte-Carlo	Estimer une probabilité ou une aire par la fréquence observée sur un grand nombre de simulations

📐 Formules essentielles

Formule	Usage
$P_A(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}$	Définition ; dans un tableau : case $\div$ total de la ligne de $A$
$P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)$	Probabilité d'un chemin dans un arbre
$P(B) = P(A)P_A(B) + P(\bar{A})P_{\bar{A}}(B)$	Probabilités totales (partition $A$ , $\bar{A}$ ) ; se généralise à $n$ évènements
$P_B(A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$	« Remonter » l'arbre après les probabilités totales
$P(A \cap B) = P(A)P(B)$	Indépendance (à vérifier ou à utiliser)
$P(\text{exactement } k \text{ succès}) = (\text{nb de chemins}) \times p^k(1 - p)^{n-k}$	Bernoulli répétée, $n \leqslant 4$
$P(\text{au moins un succès}) = 1 - (1 - p)^n$	Passer par le contraire « aucun succès »

Nombre de chemins avec $k$ succès : $n = 2$ : $1, 2, 1$ ; $n = 3$ : $1, 3, 3, 1$ ; $n = 4$ : $1, 4, 6, 4, 1$ .

🌳 Règles de l'arbre pondéré

Somme des branches issues d'un nœud $= 1$ .
Probabilité d'un chemin $=$ produit des branches.
Probabilité d'un évènement $=$ somme des chemins qui y mènent.
Second niveau : probabilités conditionnelles. Si les épreuves sont indépendantes, elles sont identiques quel que soit le premier résultat.

✅ Méthodes

Lire un tableau croisé : $P(A \cap B)$ = case / total général ; $P_A(B)$ = case / total de la ligne de $A$ ; $P_B(A)$ = même case / total de la colonne de $B$ .

Calculer $P(B)$ avec un arbre : repérer tous les chemins aboutissant à $B$ , multiplier le long de chacun, additionner (probabilités totales).

Calculer une probabilité « à l'envers » ( $P_B(A)$ ) : d'abord $P(A \cap B)$ (chemin) et $P(B)$ (totales), puis diviser.

Tester l'indépendance : calculer $P(A \cap B)$ d'une part, $P(A) \times P(B)$ d'autre part, comparer. Si l'énoncé dit « indépendants » : utiliser directement le produit.

Répétition de Bernoulli : identifier succès et $p$ , vérifier « identique et indépendante », dessiner (ou imaginer) l'arbre, compter les chemins avec $k$ succès, multiplier par $p^k(1 - p)^{n-k}$ .

🐍 Python : Monte-Carlo

from random import random

def estime_pi(n):
    dedans = 0
    for k in range(n):
        x, y = random(), random()
        if x * x + y * y <= 1:      # point dans le quart de disque
            dedans = dedans + 1
    return 4 * dedans / n           # ≈ 3,14

def aire_parabole(n):               # aire sous y = x² sur [0 ; 1] ≈ 1/3
    dessous = 0
    for k in range(n):
        x, y = random(), random()
        if y < x * x:
            dessous = dessous + 1
    return dessous / n

⚠️ Pièges à éviter

Piège	Correction
Confondre $P(A \cap B)$ , $P_A(B)$ et $P_B(A)$	Même numérateur, dénominateurs différents : total général, total de $A$ , total de $B$
Additionner au lieu de multiplier le long d'un chemin	Chemin = produit ; évènement = somme de chemins
Confondre incompatibles et indépendants	Incompatibles : $P(A \cap B) = 0$ ; indépendants : $P(A \cap B) = P(A)P(B)$ . Des évènements incompatibles (de probabilités non nulles) ne sont jamais indépendants
Oublier de compter les chemins	$P(\text{exactement } 2 \text{ succès sur } 3) = 3 \times p^2(1 - p)$ , pas $p^2(1 - p)$
Tirages avec / sans remise	Avec remise : épreuves indépendantes, mêmes probabilités au second niveau ; sans remise : probabilités conditionnelles
Lire un test positif comme une certitude	$P_T(M)$ peut être faible si la maladie est rare (exemple du cours : $\dfrac{1}{6}$ )

📌 À retenir

$P_A(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}$ ; produit sur un chemin, somme des chemins.
Probabilités totales : $P(B) = \sum P(A_i)P_{A_i}(B)$ ; puis $P_B(A_i)$ par division.
Indépendance : $P(A \cap B) = P(A)P(B)$ .
Bernoulli répétée : nombre de chemins $\times$ $p^k(1 - p)^{n-k}$ ; « au moins un » par le contraire.
Monte-Carlo : fréquence sur un grand nombre de simulations.

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