📝 Fiche de révision — Représentation des entiers : bases et binaire

---

🔢 Bases

• Base $b$ : chiffres de $0$ à $b - 1$, poids $b^0, b^1, b^2, \ldots$ de droite à gauche.
• Base $2$ : $0$, $1$ ; base $16$ : $0$-$9$, A ($10$), B ($11$), C ($12$), D ($13$), E ($14$), F ($15$).
• Puissances de $2$ : $1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1\,024$ ; $2^{16} = 65\,536$ ; $2^{20} \approx 10^6$ ; $2^{32} \approx 4{,}3 \times 10^9$.

---

🔁 Conversions

• Binaire → décimal : somme des puissances des bits à $1$ : $\overline{1011\,0101}^{\,2} = 128 + 32 + 16 + 4 + 1 = 181$.
• Décimal → binaire : divisions par $2$, restes de bas en haut ($45 \to 101101$) ; ou soustraction des plus grandes puissances.
• Binaire ↔ hexa : un quartet ($4$ bits) = un chiffre hexa : $1011\,0101 \to \text{B5}$ ; $\text{CA} \to 1100\,1010$.
• Python : bin(45), hex(181), int("101101", 2), int("B5", 16).

---

📏 Nombre de bits

• $n$ bits → $2^n$ valeurs, de $0$ à $2^n - 1$ ; $N$ tient sur $n$ bits si $N < 2^n$ ; $8$ bits : $0$-$255$ ; $16$ : $0$-$65\,535$ ; $32$ : $\approx 4{,}3$ milliards ; $64$ : $\approx 1{,}8 \times 10^{19}$.
• Somme : $n + 1$ bits ; produit : $2n$ bits ($p + q$ en général) ; débordement si on reste sur $n$ bits ($200 + 100 \to 44$ sur $8$ bits).
• Addition binaire : $1 + 1 = 10$, $1 + 1 + 1 = 11$ (retenues).
• Python : entiers de taille arbitraire ; C, Java : int sur $32$ bits.

---

➖ Complément à 2

• Bit de poids fort = $-2^{n-1}$ ; sur $8$ bits, poids $-128, 64, \ldots, 1$ ; valeurs de $-128$ à $127$ ; sur $16$ bits : $-32\,768$ à $32\,767$ ; un seul zéro.
• Opposé : inverser les bits, ajouter $1$ : $37 = 0010\,0101 \to 1101\,1010 \to 1101\,1011 = -37$ ; ou $2^n - x$ ($256 - 37 = 219$).
• Un motif = deux lectures : $1101\,1011$ vaut $219$ (non signé) ou $-37$ (signé) ; bugs de débordement (compteur $32$ bits à $2^{31}$).

---

⚠️ Pièges à éviter

---

📌 À retenir

1. Position et puissances de la base.
2. Divisions successives, quartets.
3. $2^n$ valeurs ; somme $n+1$, produit $2n$.
4. Complément à 2 : inverser, ajouter 1.