📐 Maths (enseignement scientifique)1ereFiche de révision

Statistiques à deux variables

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Fiche de révision

📝 Fiche de révision — Statistiques à deux variables

📖 Vocabulaire

Terme	Définition
Caractère qualitatif	Ses valeurs (modalités) ne sont pas des nombres : genre, mode de transport
Caractère quantitatif	Ses valeurs sont des nombres : année, température, revenu
Tableau croisé d'effectifs	Tableau à double entrée qui compte les individus ayant deux modalités à la fois ; les totaux sont les marges
Série à deux variables	Liste de couples $(x_i\,;\,y_i)$
Nuage de points	Les points $M_i(x_i\,;\,y_i)$ dans un repère, non reliés
Point moyen	$G(\bar{x}\,;\,\bar{y})$ , moyenne des abscisses et moyenne des ordonnées
Ajustement affine	Droite $y = ax + b$ qui résume un nuage allongé
Interpolation	Estimation entre deux données connues
Extrapolation	Estimation en dehors de la plage des données (souvent le futur)

🔢 Tableau croisé : une case, trois lectures

	Sport	Pas de sport	Total
Filles	$90$	$30$	$120$
Garçons	$50$	$30$	$80$
Total	$140$	$60$	$200$

Question	Calcul	Dénominateur
Fréquence de « fille et sportive »	$\dfrac{90}{200} = 45\,\%$	total général
Parmi les filles, part de sportives	$\dfrac{90}{120} = 75\,\%$	total de la ligne
Parmi les sportifs, part de filles	$\dfrac{90}{140} \approx 64\,\%$	total de la colonne

Comparer deux groupes = comparer leurs profils (fréquences conditionnelles en ligne), jamais leurs effectifs bruts : $75\,\%$ des filles font du sport contre $\dfrac{50}{80} = 62{,}5\,\%$ des garçons.

📊 Diagrammes

Diagramme	Il montre	À utiliser pour
Barres groupées	les effectifs	voir les quantités
Barres empilées à $100\,\%$	les profils (fréquences en ligne)	comparer des groupes
Circulaire (un par groupe)	la répartition d'un groupe	angle $=$ fréquence $\times 360°$

Toujours vérifier l'axe : effectifs ou pourcentages ? part-il de $0$ ?

📈 Nuage, point moyen, ajustement

Point moyen : $\bar{x} = \dfrac{x_1 + \cdots + x_n}{n}$ , $\bar{y} = \dfrac{y_1 + \cdots + y_n}{n}$ . Il ne fait généralement pas partie du nuage.

Ajustement affine $y = ax + b$ : seulement si le nuage est allongé le long d'une droite. Trois méthodes, aucune théorie exigée :

Méthode	Comment
Au jugé	Droite tracée à la règle, passant par $G$ , points équilibrés de part et d'autre ; équation avec deux points lus
Droite de Mayer	Deux sous-nuages (ordre des $x$ ), points moyens $G_1$ et $G_2$ , droite $(G_1G_2)$
Moindres carrés	Calculatrice (régression linéaire) ou tableur (courbe de tendance) : on lit $a$ et $b$

Les trois passent par $G$ . Interpréter $a$ : variation moyenne de $y$ quand $x$ augmente de $1$ (« $+2$ ppm par an »).

Équation avec deux points $A$ et $B$ : $a = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$ , puis $b = y_A - a\,x_A$ .

🎯 Utiliser le modèle

Tâche	Méthode
Estimer $y$	Remplacer $x$ dans $y = ax + b$ (interpolation ou extrapolation)
Estimer $x$	Résoudre $ax + b =$ valeur
Seuil	Résoudre l'inéquation $ax + b \geqslant s$ , puis arrondir au rang entier suivant et revenir à l'année

Série chronologique : prendre $x =$ rang de l'année ( $x = 0$ pour la première) ; ne pas oublier de retraduire $x$ en année à la fin.

💻 Tableur (rangs en A2:A8, valeurs en B2:B8)

=MOYENNE(A2:A8) · nuage de points (XY) puis courbe de tendance linéaire avec équation · =PENTE(B2:B8;A2:A8) et =ORDONNEE.ORIGINE(B2:B8;A2:A8) (les $y$ d'abord) · =PREVISION(40;B2:B8;A2:A8).

⚠️ Pièges à éviter

Piège	Correction
Comparer des effectifs de groupes inégaux	Passer aux fréquences conditionnelles
Confondre les trois dénominateurs	Se demander « parmi qui ? »
Relier les points du nuage	Chaque point est une mesure ; seule la droite d'ajustement se trace
Ajuster un nuage en courbe ou sans forme	L'ajustement affine ne se justifie que pour un nuage allongé
Croire une extrapolation lointaine	Elle suppose que la tendance continue ; plus on s'éloigne, moins c'est sûr
Donner $x = 10{,}48$ comme réponse à un seuil	Rang entier suivant ( $11$ ), puis l'année ( $2025$ )
Lien statistique $=$ cause	Chercher le mécanisme ou un facteur caché

📌 À retenir

Tableau croisé : trois dénominateurs possibles pour une case ; on compare des fréquences, pas des effectifs.
Barres empilées à $100\,\%$ pour comparer des profils.
Point moyen $G(\bar{x}\,;\,\bar{y})$ ; toutes les droites d'ajustement passent par $G$ .
Ajustement affine si le nuage est allongé : au jugé, Mayer ou calculatrice ; $a$ se lit « variation de $y$ par unité de $x$ ».
Interpoler est fiable, extrapoler est une hypothèse ; un seuil se conclut par une année entière.
Une droite décrit un lien, elle n'en donne pas la cause.

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